Metodo del trapecio

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METODO DEL TRAPECIO

La primera etapa para evaluar en forma numérica una integral. Por el método general consiste en dividir el área representada por “I” en cierto número de bandas son del mismo ancho, de manera que si se forman “n” bandas, su ancho será.

(B – A )

H = --------------

N

En el método del trapecio se dice lo siguiente: en vez de aproximar la integral f(x) en unadistancia (a , b) por una recta, conviene dividir la distancia(a , b) en n subintervalos o segmentos y aproximar a cada uno por un polinomio de primer grado una vez hecho esto , se aplica la formula trapezoidal para cada intervalo y se obtiene el área de cada trapezoide que componen la curva, de tal modo que la suma de todas ellas da la aproximación del área bajo la curva f(x). En el método deltrapecio se dice lo siguiente: en vez de aproximar la integral f(x) en una distancia (a , b) por una recta, conviene

dividir la distancia(a , b) en n subintervalos o segmentos y aproximar a cada uno por un polinomio de primer grado una vez hecho esto , se aplica la formula trapezoidal para cada intervalo y se obtiene el área de cada trapezoide que componen la curva, de tal modo que la suma detodas ellas da la aproximación del área bajo la curva f(x).

Esto es en la formula del Trapecio

I=(b-a)* (f(x0+2(f(xi) )+f(xn))/2

Ejemplo

Calcular por medio del método del trapecio la integral de la siguiente función.

F(X) = 0.2 + 25 X - 200 X2 + 675 X3 - 900 X4 + 400 X5

Desde a = 0 hasta b= 0.8 con un número de segmentos n = 2

Se calcula el ancho de cada segmento.(B - A )
H = --------------
N

(0.8 - 0 )
H = --------------
2

(0.8 )
H = ----------= 0.4
2

Primeramente se calcula la integral en forma normal

0.2 dx + 25ƒ X dx - 200 ƒX2 dx + 675 ƒX3 dx - 900 ƒX4 dx+ 400 ƒ X5 dx

0.2x+ (25 x2)/2- (−200 x3)/3+ 675×4/4-(−900×5)/5+ (400 x6)/6

0.2 x + 12.5 x2 - 66.66 x3 + 168.75 x4 - 180 x5 + 66.66 x6 |ab

Haciendo x = a y sustituyendo el valor de “a” tenemos:

I(a)=0.2(0)+ 12.5 (0)- 66.66 (0) + 168.75 (0) - 180 (0) + 66.66 (0) I(0)=0.0

Haciendo x = b y sustituyendo el valor de “b” tenemos:

I(b)=0.2(.08)+12.5(0.8)- 66.66(0.8)+ 168(0.8)−180(0.8)+66.66(0.8)

I(0.8)=1.6422

I(total) =I(b) – I(a)

I(total)=1.6422–0.0 I(total) =1.6422

El valor real de la integral es 1.6422

Se calculan los valores de cada función tomando en cuenta el ancho de cada segmento.

F(H*0)=F(0.4*0)=F(0)=0.2+25(0)−200(0)2+2+675(0)3–900(0)4+400(0)5

F(0)=0.2

F(H*1)=F(0.4*1)=F(0.4)=0.2+25(0.4)−200(0.4)2+2+675(0.4)3–900(0.8)4+400(0.4)5

F(0.4)=2.456F(H*2)=F(0.4*2)=F(0.8)=0.2+25(0.8)−200(0.8)2+2+675(0.8)3–900(0.8)4+400(0.8)5

F(0.8)=0.232

1 Métodos de integración numérica - Método directo (explícito) de Euler

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[pic]

para lo cual necesitamos conocer las derivadas de x con respecto al tiempo. El error de truncamiento producido será (resto en la forma de Lagrange):

[pic]

directamente del desarrollo de Taylor, podemosescribir:

[pic]

siendo el término con la segunda derivada el ELT, produciéndose un método de integración explícita:

[pic]

[pic]

 

La gráfica anterior es la interpretación geométrica de este método, ya que es la aproximación de la función x(t) por la tangente dibujada en el punto anterior. Vemos pues que para [pic] el valor exacto de x es [pic] y mediante la aproximaciónobtenemos el valor [pic].

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