Metodo euler

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Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euler es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de
Variables ,Que dependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:
Escogiendo un paso de pequeño
Se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de
En el tiempo
Se necesitan conocer en el tiempo . La fórmula sería:
Entonces para averiguar los valores de a cualquier basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a
yresolviendo iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de
EJEMPLO 1 Método de Euler
Para el problema de valor inicial
Y'= 0. 2xy, y(1) = 1,
Utilice el método de Euler a fin de obtener una aproximación a y(1.5) con h = 0.1 primero y después h = 0.05.
SOLUCIÓN Primero identificamos f(x, y) = 0.2xy, de modo que la ecuación (2) viene a ser
Yn+1 = Yn + h(0.2xnyn).
Entonces, cuando  h = 0.1,Y1 = yo + (0.1)(0.2xoyo) = 1 + (0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02,
Que es un estimado del valor de y(1.1); sin embargo, si usamos h = 0.05, se necesitan dos iteraciones para llegar a 1.1. En este caso,
y1 = 1 + (0.05)[0.2(1)(1)] = 1.01
y2 = 1.01 + (0.05)[0.2(1.05)(1.01)1 = 1.020605.
Observamos que y1 ≈ y(1.05), y que y2 ≈ y (1.1). En las tablas 9.1 y 9.2 se ven los resultados del resto de los cálculos.Cada resultado esta redondeado a cuatro decimales.

Método de Euler con h = 0.1
Método de Euler con h = 0.05
En el ejemplo 1, los valores correctos o "exactos" se calcularon con la solución y = e0.1 (x2 1), que ya se conoce. El error absoluto se define así:
|valor exacto valor aproximado|.
El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente,
|valor exacto valoraproximado|
|valor exacto|
|valor exacto valor aproximados| error absoluto
Y=  |valor exacto| X 100 =  |valor exacto|  X 100.
El software permite examinar aproximaciones a la grafica de la solución y(x) de un problema de valores iniciales porque grafica rectas que pasan por los puntos (xn , yn) generadas por el método de Euler. En el intervalo [1, 3], la grafica de la solución exacta del problema devalor inicial en el ejemplo 1 con las obtenidas con el método de Euler usando tamaños de paso h = 1, y = 0.5 y h = 0.1. En dicha figura se aprecia que la aproximación aumenta al disminuir el tamaño del paso.
Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmulaes la siguiente: 

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  donde  es la aproximación obtenida con laprimera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  como la aproximación de Euler mejorada. 
EJEMPLO 4 Método de Euler mejorado  
Aplique la formula de Euler mejorada a fin de hallar el valor aproximado de y(1.5) para resolver el problema de valor inicial en el ejemplo 2.Compare los resultados para h = 0.1 y h = 0.05.
SOLUCIÓN Primero se calcula para n = 0 y h = 0.1
y*n = yo + (0.1)(2xoyo) 1.2.
En seguida, de acuerdo con (5),

En las tablas 9.5 y 9.6 aparecen los valores comparativos de los cálculos para h = 0.1 y h = 0.5, respectivamente.

Método de Euler mejorado, con h = 0.1
Método de Euler mejorado, con h = 0.05
Es preciso hacer una advertencia. No...
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