Metodo gauss-seidel

Método de Gauss-Seidel
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En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Descripción
Es un método iterativo,lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

El método de iteración Gauss-Seidel es

donde
para i=j, o para .
y

Esto es también que :
Si
definimos

y
.
Considerando el sistema Ax=b, conla condición de que , i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
, i=1,...,n(*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
Convergencia
Teorema: Suponga una matriz es una matriz no singular que cumple la condición deó .Entonces el método de Gauss-Seidelconverge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi. |
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
(**)
(el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de unmétodo iterativo estacionario.
Primeramente debemos demostrar que el problema lineal que queremos resolver se puede representar en la forma (**), para este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=D(L+I+U), D=diag(). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma

por lo tantoB=-(L+I)-1 U.
Ahora podemos ver que la relación entre los errores, el cuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)

Supongamos ahora que , i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial

(***)
Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi|<1, i= 1,..., n. De este hecho se desprende el siguiente teorema:
Teorema: Una condición suficiente y necesaria para que un método iterativo estacionario converja para una aproximación arbitraria x^{(0)} es quedonde ρ(B) es el radio espectral de B. |

Explicación
Se elige una aproximación inicial para .
Se calculan las matrices M y el vector c con las fórmulas mencionadas. El proceso se repite hasta quexk sea lo suficientemente cercano a xk − 1, donde k representa el número de pasos en la iteración.
Algoritmo
El método de Gauss-Seidel se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:
Algoritmo Método de Gauss-Seidel |
función Gauss-Seidel (A, x0)//x0 es una aproximación inicial a la solución//para hasta convergencia hacer para hasta hacer para hasta hacer si entonces σ = σ +aijxjfin parafin paracomprobar si se alcanza convergenciafin para |
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto deecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de...