metodo jacobi

MÉTODO DE JACOBI
El método de Jacobi consiste en realizar una secuencia de transformaciones ortogonales, cada
transformación se denomina “rotación de Jacobi”; y corresponde a una rotación cuyo
objetivo es eliminar a un elemento de la matriz. Se va rotando sucesivamente la matriz hasta
que el error es pequeño para ser considerada una matriz diagonal. Un concepto fundamental
de este método esque, al rotar la matriz para eliminar un elemento que ya sea cero, se
modifican varios elementos situados en la fila y la columna del elemento que se rota, que
podían valer cero y hasta haber rotado con anterioridad.
Cada vez que se rota un elemento, todos los elementos que se insertan son función de
la cantidad que se elimina ponderada por una función trigonométrica, por lo que el valorabsoluto de los elementos distintos de la diagonal se reduce hasta que se considera que son
cero. La composición de las rotaciones genera autovectores, en donde los elementos de la
diagonal principal corresponden a los autovalores.
Los métodos directos e indirectos en general tienen con los redondeos, truncamientos
y aproximaciones a la solución real. Los métodos iterativos representan unaalternativa
potente para solucionar este inconveniente, ya que se acercan más a la solución real a medida
que se itera, de manera que la calidad de la aproximación depende de la cantidad de
iteraciones que se efectúa. El planteamiento empieza en suponer un valor inicial y enseguida
se usar un método sistemático para obtener una estimación más refinada de la solución.
El Método de Jacobi es uno delos métodos iterativos más conocidos.
Supóngase que se tiene un sistema (3x3) de ecuaciones. Si los elementos de la diagonal no
son todos cero, la primera ecuación se resuelve para x1, la segunda para x2 y la tercera para
x3, para obtener:

Para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi
para encontrar un valor k de una variable x utiliza lasiguiente ecuación iterativa:

El procedimiento consiste en asignar valores iniciales a las variables, usualmente se escogen
los valores triviales, "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se
sustituyen los valores en la ecuación iterativa, con lo que se obtiene:

En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:

Convergencia delmétodo:
Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución, se evalúan las siguientes
condiciones de convergencia.
(Nota: las siguientes van en un orden de modo que si se cumple una de las condiciones,
comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario
realizarlas):
La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. porfilas), es decir,
para toda i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A:

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de
los elementos de esa fila i.
A partir de la siguiente identidad:

Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11,
a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangularinferior obtenida de la parte triangular
estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la
parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este
método:
, k = 1, 2, ...
De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1(L+U). Para que el
método de Jacobi converja hacia una solución,

,

Para unanorma matricial inducida. ρ(BJ), que corresponde al máximo de los valores
absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BJ (det(BJ - λI)) es menor
que 1.
El método de Jacobi es el método iterativo más elemental; ya que el proceso se repite tantas
veces hasta llegar a una tolerancia deseada, se empieza a partir de un vector inicial (el vector
de ceros la mayoría de las...