Metodologia

UNIDAD 2: Elementos de lógica proposicional

1. La estructura lógica del método.
2. Noción y necesidad de la lógica.
3. La axiomatización de la lógica.
3.4. Elementos constitutivos de la lógica proposicional.
3.5. El análisis de las proposiciones mediante valores de verdad.
3.6. Las funciones de verdad.

3.5. Análisis de las proposiciones mediante valores de verdadSabemos que, por definición, toda letra proposicional puede tomar uno de dos valores de verdad que son verdadero (1) y falso (0). Del mismo modo, dada una fórmula con una determinada conectiva, su valor de verdad (verdadero o falso) queda determinado por los valores de verdad de las letras proposicionales que la integran. Los valores de verdad de las fórmulas elementales consideradas se puedenescribir del modo siguiente:
V(¬φ)=0 sii V(φ)=1.
V(φ∧ψ)=1 sii V(φ)=1 y V(ψ)=1.
V(φ∨ψ)=1 sii V(φ)=1 ó V(ψ)=1.
V(φ→ψ)=0 sii V(φ)=1 y V(ψ)=0.
V(φ↔ψ)=1 sii V(φ)=V(ψ).
Visto ya como se valúan las proposiciones, podemos calcular la valuación V de cualquier fórmula φ empleando el árbol constructivo de φ. Por ejemplo, si queremos valuar la fórmula ¬(¬p→q), y sabemos que V(p)=1 y V(q)=0,tenemos que valuar: V(¬p)=0, V(¬p→q)=1 y, luego, V(¬(¬p→q))=0.
Dado que también puede darse que V(p)=0 y V(q)=1, V(p)=0 y V(q)=0, V(p)=1 y V(q)=1, la fórmula dada puede tomar otros valores. Es así que, se pueden calcular todos los valores de verdad que puede tomar la fórmula para todas las posibles distribuciones de valores de verdad de las letras proposicionales que aparecen en ella. Estosvalores se suelen escribir en una tabla de verdad compuesta. A continuación, construimos una para la fórmula anterior:

1 2 3 4 5
p q ¬p ¬p→q ¬(¬p→q)

V1 1 1 0 1 0
V2 1 0 0 1 0
V3 0 1 1 1 0
V4 0 0 1 0 1

En una tabla de verdad compuesta, el número de filas, para contener todas las combinaciones posibles de valores de verdad, depende sólo de lacantidad de letras proposicionales, y es 2n. Es 2n el número de distribuciones diferentes de los dos valores de verdad entre n proposiciones.

3.5.1. Fórmulas lógicamente equivalentes

Agregamos ahora dos nuevas columnas (6 y 7) a la tabla anterior, con las expresiones ¬q y ¬p∧¬q:

1 2 3 4 5 6 7
p q ¬p ¬p→q ¬(¬p→q) ¬q ¬p∧¬q

V1 1 1 0 1 0 0 0
V2 1 0 0 1 0 1 0V3 0 1 1 1 0 0 0
V4 0 0 1 0 1 1 1

Vemos que los valores de verdad de las columnas 5 y 7 son los mismos. Es decir, para cada valuación Vi: Vi(¬(¬p→q)) = Vi(¬p∧¬q). Por lo cual se dice que las fórmulas ¬(¬p→q) y ¬p∧¬q son lógicamente equivalentes.

3.5.1.1. Demostración de la equivalencia de fórmulas.

En general, dadas dos fórmulas, φ y ψ, se dice que son lógicamenteequivalentes siempre que, para cada evaluación, Vi: Vi(φ) = Vi(ψ).
Para demostrar que dos fórmulas son equivalentes, se establece la tabla de verdad en que se muestra que la columna de valores de verdad de la primera es igual a la columna de valores de verdad de la segunda. Lo puedes ver en el siguiente ejemplo:

φ ψ χ φ∨ψ (φ∨ψ)∨χ ψ∨χ φ∨(ψ∨χ)

V1 1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 0 1 1 1 1V3 1 0 1 1 1 1 1
V4 1 0 0 1 1 0 1

V5 0 1 1 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 1 1 1
V7 0 0 1 0 1 1 1
V8 0 0 0 0 0 0 0

Esta equivalencia es conocida como la asociatividad de la disyunción.

Observa, en esta tabla de verdad, que la cantidad de filas es 23=8 (porque hay 3 letras proposicionales distintas). Nota también que para la primer letra proposicional(φ) se escribe la primera mitad de valores con 1, y la segunda mitad con 0; para la segunda letra (ψ), los valores van de a dos; y para la tercera (χ), los valores van de a uno.

3.5.1.2. Fórmulas equivalentes más comunes.

Del mismo modo se puede probar, mediante tablas de verdad, la equivalencia entre las fórmulas de cada una de las siguientes parejas (muy conocidas):

a) φ, ¬¬φ (ley de...