Metodos analiticos

BJETIVO DE LA UNIDAD:
El estudiante analizara y comprenderá los conceptos y características de una variable aleatoria continua, función de densidad y acumulativa y será capaz de calcular un valor esperado así como la varianza y la desviación estándar, además podrá desarrollar ciertos tipos de distribuciones como uniforme, binomial y normal así como el teorema de Chebyshev y aplicara suspropiedades a casos reales.
DISTRIBUCION NORMAL
Su grafica recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana, la cual, describe en forma aproximada, algunos fenómenos de la naturaleza, la industria y la investigación. Una variable aleatoria continua se llama “variable aleatoria normal” si tiene la distribución en forma de campana.
Las propiedades de la curva normal son las siguientes:-La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en X=M.
-La curva es simétrica alrededor de su eje vertical, donde se tiene la media (M).
-La curva tiene sus puntos de inflexión en x=M
-La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquier de los 2 direcciones alejándose de la media.
-El área total bajo la curva y arriba del ejehorizontal es igual a 1.

EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Dada una distribución normal con M=30 Y Encontrar:
a) A la derecha de x=17
b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22
c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41
d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la izquierda.
e) Los dos valores de x que contiene un intervalo central del 75% de la mitad del áreade la curva normal.
RESOLUCION:
a) P(X>17)=
Entonces:
P (Z>-2.16)=1-P (Z<-2.16 (tablas))=1-0.0154=0.9846=98.46%
b) P(x<22)= P (X<-1.33)=0.0918
c) P (32<x<41)=
P (0.33<Z<1.83)= P (Z<1.83)-P (Z<0.33)=0.9664-0.6293=0.3371=33.7%
d) para 0.7995; Z=0.84
e) z---1.15
Ejemplo dos:
Estadísticas publicadas por la Nacional Highway Traffic Safety muestran que unanoche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10 conductores esta ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea:
a) Menos de 32?
b) Mas de 49 ?
c) Al menos 35 pero menos de 47?
d) 35 exactamente ?
RESOLUCION:
a) Menos de 32
M=40
=6
b) Mas de 49
c) al menos 35 pero más de 47
M=40=6
P(35<Z<47)=P34.5-P46.5=1.083-0.916=0.167=0.5636
d) 35 exactamente
P(X=35)=P (34.5<Y<35.5)=
P (Z<-0.75)-P (Z<-0.91)=0.2266-0.1844=0.0452
Ejemplo tres:
El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la Escuela medico Militar tiene una distribución normal de M=100 y una desviación estándar de 10. Calcula cuál es la proporción de reclutas que tienen uncoeficiente intelectual entre 100 y 107 en términos de la calificación estándar z.
RESOLUCION:
Ahora como z es positivo y mayor que 0.5000 entonces obtenemos que:
0.5000-0.2580= 0.2420=24.20% de los alumnos tiene un coeficiente intelectual entre 100 y 107 o decir que los alumnos que se encuentran entre 100 y 107 es de 0.2420.
APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL A LA BINOMIAL
Lasprobabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando “n” es pequeña, de la formula de la distribución binomial o de las tablas.
La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta, cuando esta ultima toma la forma de campana simétrica.
Para aproximar propiedades binomiales cuando “n” es suficiente mente grande utilizamos elsiguiente teorema:
Donde:
M=np
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
-Una moneda se lanza 400 veces, encuentre:
a) La probabilidad de obtener entre 185 y 210 caras.
b) Exactamente 205 caras.
c) Menos de 176 o más de 227 caras.
RESOLUCION:
a) n=400
p=0.5
q=0.5
M=np=(400)(0.5)=200
P
b) P(X=205)=P (204.5)
c) P (176
P ()
Ejemplo dos:
-Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus...