Metodos cuadrados

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El Método de Mínimos Cuadrados

Introducción

El método de mínimos cuadrados es un conjunto de pasos utilizado para aproximar un conjunto de puntos a un modelo, el cual puede ser lineal, cuadrado, exponencial, etc.

Se basa en el principio de reducir la varianza al mínimo, adecuándolo a uno de los modelos anteriormente citados. Además brinda información importante sobre la tendencia quetendrá alguna variable en cuestión.

En otras palabras, el método de mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime lo mejor posible a los datos.

Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes enlos datos.

Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria, también es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas.

El método de mínimos cuadrados

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a unconjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yー - Y) = 0.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma menor de lasdesviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yー - Y)² → 0 (mínima).
El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

|[pic] |Re emplazando [pic]nos queda |
| |[pic] |

La obtención de los valores de a yb que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
 [pic]
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden serresueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.
[pic]
Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]  Primera ecuación normal
Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]  Segunda ecuación normal
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuacionesresultante. Veamos el siguiente ejemplo:
En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.

EJEMPLO 1
Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son lossiguientes:  
CIUDAD: 1 2 3 4 5 6 7 8
% de (X)
Graduados: 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2
Ingreso (Y)
Mediana: 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4 (0000)
Tenemos las ecuaciones normales  
∑y = na + b∑x
∑xy = a∑x + b∑x²
Debemos encontrar los términos de las ecuaciones
∑y, ∑x, ∑xy, ∑ x² Por tanto procedemos de la siguiente forma:
 
|Y |X |XY |X² |
| |  |  |  |
|4.2 |7.2 |30.24 |51.84 |
|4.9 |6.7 |32.83 |44.89 |
|7.0 |17.0 |119.00 |289.00 |
|6.2 |12.5 |77.50 |156.25 |
|3.8 |6.3 |23.94 |39.69 |
|7.6 |23.9 |181.64 |571.21 |
|4.4 |6.0 |26.40 |36.00 |
|5.4...
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