Metodos de eliminacion

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MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Para la resolución de estos sistemas, se estudian en el siguiente documento las dos alternativas posibles: métodos directos y métodos iterativos.

Los métodos directos sirven para la resolución de sistema de ecuaciones de tamaño moderado. Estos métodos modifican la estructura del sistema y pueden encontrarse en su solución errores deredondeo. Por otro lado, los métodos iterativos son de tamaño mayor, sólo se conservan los ceros y aparecen errores de truncamiento.

En lo que respecta a la convergencia y al número de operaciones, tenemos que el coste (para matrices densas) es de para los directos y de para los iterativos

Como métodos directos se exponen el Método de Gauss-Jordan y después la factorización LU, y para losindirectos estudiaremos los métodos de Jacobi y de Gauss-Seidel.

INTRODUCCIÓN

Estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales de dimensión cuadrada d x d, es decir, en los que el número de filas y de columnas en la matriz de coeficientes es la misma, o lo que es lo mismo, en los que tenemos el mismo número de incógnitas y de variables. Esto se debe a que sólo con las matrices cuadradas (n = m)tendremos la posibilidad de encontrar una solución única.

La forma de estos sistemas de ecuaciones lineales es la siguiente:

En su representación matricial, Ax = b, A es una matriz real de orden dxd, b es el vector columna con d componentes y x es el vector columna de las incógnitas , también con d componentes. Lo representamos de la siguiente forma:

Métodos directos

Método deGauss – Jordan

El método de Gauss, o de eliminación Gaussiana, es eminentemente un algoritmo del álgebra lineal para determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices ó encontrar inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacióntiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como matriz en forma escalonada.

El método de Gauss-Jordan se auxilia de operaciones fundamentales en renglones de matrices. Estas operaciones son las siguientes:

1. Multiplicación de una fila (columna) por un escalar (distinto de 0).

2. Intercambio de dos renglones (ocolumnas).

3. Reemplazo del renglón i por la suma del renglón i más c veces el renglón k, donde c es cualquier escalar y k i.

El objetivo general lo podemos representar mediante una matriz aumentada de la siguiente manera:

Proceso de eliminación

Consideramos el sistema lineal anterior de orden d x d expresado en forma matricial Ax = b. Lo que buscamos es llegar a un sistema triangularsuperior, o también sistema equivalente final, en le que por de bajo de la diagonal principal sólo tengamos ceros, y que usaremos para encontrar la solución por el método de sustitución regresiva:

Este proceso se consigue utilizando multiplicadores, que son el resultado de dividir las diferentes elementos entre los elementos pivote.

Una vez llegados a este punto, tendremos una matriztriangular superior de la forma Ux=c, con la que realizaremos una sustitución regresiva para encontrar la solución de nuestro sistema de ecuaciones.

Incompatibilidades

Hay dos casos en los cuales este método es ineficaz:

1)Uno de los elementos de la diagonal principal es nulo, , ya que no tendremos el multiplicador que necesitamos para eliminar las incógnitas por debajo del mismo.
2)El últimoelemento de la diagonal, , el que multiplica a la incógnita , es también nulo. Nuevamente, imposibilita la sustitución regresiva.

Estos problemas se pueden solucionar utilizando la técnica de pivotación, esto es, buscar el siguiente elemento de la columna que sea distinto de 0, o mejor aún, el de mayor valor absoluto, y permutar estas columna por la que tiene el cero. Una vez llegado a la...
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