Metodos de estimacion

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Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodos de Estimación Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota de Cramer Rao Problemas Propuestos

Clase Auxilar 5: Métodos de Estimación y Propiedades de Estimadores
Profesora Nancy Lacourly Auxiliares: Andrés Iturriaga J. - Héctor Olivero Q.

8 de abril de 2009

MA34B-01

Clase Auxilar 5

Estimación de Parámetros
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodosde Estimación
Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método Bayesiano

Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota de Cramer Rao Problemas Propuestos

Supongamos que estamos estudiando algún fenómeno de naturaleza aleatoria, por ejemplo el número de personas que llegan a una cola en un supermercado. Dado nuestro conocimiento del fenómeno con el que estamos lidiando,sabemos que sigue cierta distribución de probabilidad, la que conocemos salvo ciertos parámetros, en nuestro ejemplo, sabemos que la llegada de los clientes sigue una distribución de Poisson de parámetro λ que desconocemos. El problema de estimación puntual se trata de encontrar los parámetros desconocidos dadas ciertas observaciones de la variable (fenómeno) que estamos estudiando.

MA34B-01Clase Auxilar 5

Método de los Momentos
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodos de Estimación
Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método Bayesiano

Una consecuencia de la ley fuerte de los grandes números es que si tenemos una muestra {Xn }n de una variable aleatoria X i=1 entonces se tiene que: ¯k mk = Xn = 1 n
n

Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota de CramerRao Problemas Propuestos

Xik −→ E(X k ) = µk P-c.s.
i=1

n→∞

Esto nos indica que un indicador razonable para el momento de orden k de la variable X es mk . La idea anterior la sistematizamos en el siguiente método conocido como Método de los Momentos.

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Clase Auxilar 5

Método de los Momentos
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodos de Estimación
Método de los Momentos Métodode Máxima Verosimilitud Método Bayesiano

Dada una variable X que sigue una distribución F(θ1 , . . . , θk ) el método de los momentos se puede resumir en los siguientes pasos:
1

Relacionar los parámetros a estimar con los momentos teóricos de X. Esto generará ecuaciones de la forma: µi = Hi (θ1 , . . . , θk ) para i = 1 . . . k (1)

Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota deCramer Rao Problemas Propuestos

2

Estimar µk por mk es decir, plantear las ecuaciones: ˆ ˆ mi = Hi (θ1 , . . . , θk ) para i = 1 . . . k (2)

3

ˆ ˆ Resolver el sistema (2) y encontrar (θ1 , . . . , θk ).

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Clase Auxilar 5

Método de los Momentos: Ejemplo
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodos de Estimación
Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método BayesianoEjemplo: Sea una m.a.s. {Xi }n obtenida de una distribución con densidad: i=1 f (x, θ) = 1 χ 2 − θ [θ,2]

Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota de Cramer Rao Problemas Propuestos

donde θ es desconocido y pertenece a [0, 2]
1

Encuentre el estimador de los momentos de θ.

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Clase Auxilar 5

Método de los Momentos: Ejemplo
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodosde Estimación
Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método Bayesiano

Solución 1 Calculamos el momento teórico:
2

E(X) =
θ 2

xdx 2+θ = 2−θ 2

(3)

Propiedades Estimadores Información de Fisher y Cota de Cramer Rao Problemas Propuestos

Estimamos µ1 por m1 y tenemos: 1 m1 = n
n

Xi =
i=1

ˆ 2+θ 2

(4)

3

Despejamos: 1 ˆ θ = 2( n
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n

Xi − 1)i=1

(5)

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Método de Máxima Verosimilitud
Clase Auxilar 5 MA34B-01 Métodos de Estimación
Método de los Momentos Método de Máxima Verosimilitud Método Bayesiano

Sea {Xi }n una muestra i.i.d. de una variable X que sigue una i=1 distribución F(θ). Se define la función de verosimilitud como: fθ (x) =
n i=1 P(Xi = xi /θ) n i=1 f (xi /θ)

Caso Discreto Caso Continuo...
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