Metodos de euler y heun

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Los métodos de Euler.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar unpunto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.

De la ecuación de una recta que pasa por un punto
dado, tenemos:
[pic]; [pic]
o bien [pic]
en donde [pic]
Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación delpunto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña.
Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que seanaproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . . ., (xn, y(xn)).
Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:
[pic]; o bien [pic] es decir [pic]
En general se tiene que:
[pic]
[pic]
En donde xn = x0 + nh.
Ejemplo: Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(1.5); a) con h= 0.1 y b) con h =0.05 parael problema de valor inicial y ’ = 2xy sabiendo que y(1) = 1. Compare con el valor verdadero de y a partir de la solución [pic].
a) f(x, y) = 2xy; x0 = 1; y0 = 1; ‘ h = 0.10
y1 = y0 + h(2 x0 y0) = 1 + 0.10 [2 (1) (1) ] = 1.2
y2 = y1 + h(2 x1 y1) = 1.2+ 0.10 [2 (1.1) (1.2) ] = 1.4640.

Ver tabla para los demás valores obtenidos.

Por lo que se obtiene un valor aproximadode
y(1.5) ≈ 2.9278.
El valor real es y(1.5) = 3.49034296
Error = 0.562530
Error relativo (%) = 16.12%,

Se reduce considerablemente el error si tomamos h = 0.05. Ver tabla.

y(1.5)=3.173277
Para h = 0.05
Error = 0.317066
Error relativo (%) = 9.084089%

El método de Euler mejorado o fórmula de Heun.
La fórmula [pic] . . . . . . (A)
donde[pic]

se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun.

Los valores de f(xn, yn) y f(xn+1, y٭n+1) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (xn, y(xn)) y (xn+1,y(xn+1)) y en consecuencia el cociente [pic] puede ser interpretado como una pendiente promedio en el intervalo entre xn, xn+1. Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente.

En la figura se muestra el casoen que n = 0. Observe que f(x0, y0) y f(x1, y٭1) son las pendientes
de las rectas indicadas que pasan por los puntos
(x0, y0) y (x1, y٭1), respectivamente.

Tomando un promedio de estas pendientes
obtenemos la pendiente de las rectas oblicuas(flechas).

En lugar de seguir la recta de pendiente
m = f(x0, y0) hasta el punto de ordenada y٭1
obtenida por el método de Euler usual,
seguimos la recta por (x0, y0) con pendiente mprom
hasta llegar a x1.Examinando la figura, es plausible admitir
que y1 es una mejora de y٭1.

Además podríamos decir que el valor de [pic] predice un valor de y(x1), mientras que:
[pic], corrige esta estimación.

Ejemplo: Utilice el método de Euler mejorado o fórmula de Heun para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución de y’ = 2xy; y(1) = 1, considere: a) h =...
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