Metodos extraccion de raices

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MÉTODO GRÁFICO
Este método básicamente se usa para localizar un intervalo donde la función tiene alguna raíz.Localizar un intervalo donde la función tenga una raíz.
Solución
Para calcular la raíz de hacemos , de donde . Por lo tanto, el problema equivale a encontrar el punto de intersección de las funciones y .
Conocemos bien estas gráficas:






De lo cual,concluimos que un intervalo donde se encuentra la única raíz es . En realidad, no nos interesa ser más finos en la búsqueda del intervalo, ya que posteriormente aplicaremos métodos más sistemáticos para aproximar mejor la raíz. Digamos que la utilidad del método gráfico radica en proveernos de un intervalo con el cual comencemos a trabajar.

MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO O BISECCIÓN
METODO DE LABISECTRIZ
El método de la bisectriz es un método numérico sencillo, muy versátil para encontrar una raíz real en un intervalo en el que existe una raíz.
Su singular ventaja consiste en que funciona incluso con funciones no analíticas; sin embargo, sólo se debe utilizar el método después de un análisis gráfico.
Supóngase que hay una raíz de f(x) = 0 en un intervalo entre;
x = a y x = c,Denotado por [a, c] o, de forma equivalente, por c ³ x ³ a.
El método de la bisectriz se basa en el hecho de que, cuando un intervalo [a, c] tiene una raíz, el signo de y(x) en los extremos es distinto, o sea, f(a) f(c) < 0.
El primer paso de este método consiste en bisectar el intervalo [a, c] en dos mitades: [a, b] y [b, c], donde;
b = ( a + b ) / 2
Si se verifican los signos de f(a)f(b) yf(b)f(c), se sabe en que mitad del intervalo se encuentra la raíz.
De hecho, si 0 ³ f(a)f(b), el intervalo [a, b], que incluye x = a y x = b, contiene a la raíz; de lo contrario, la raíz esta en el otro intervalo, [b, c].
A continuación, se bisecta de nuevo el intervalo que contiene a la raíz.
Al repetir este procedimiento, el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se hará cada vez máspequeño.
En cada paso se toma el punto medio del intervalo como la aproximación más actualizada a la raíz.
La iteración se detiene cuando el tamaño de la mitad del intervalo es menor que una tolerancia dada.
El tamaño del intervalo después de n pasos de iteración es
(c0- a0)/2n
Donde a0 y c0 son valores iniciales, de modo que el numerador es el tamaño de intervalo inicial.
La ecuaciónanterior representa el máximo error que existe cuando se aproxima la raíz con el n-ésimo punto medio. Por tanto, si la tolerancia del error es t , el número de pasos de iteración necesarios es el entero n más pequeño que satisface
t ³( c0- a0)/2n
De forma equivalente, n ³ log[(c0- a0)/ t ]/log(2) donde t es la tolerancia.
METODO DE LA REGLA FALSA
Aunque el método de bisección es una técnicaperfectamente valida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente.
Una alternativa mejorada es la del método de la regla falsa está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz.
Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de f(x1) y de f(xu).
Por ejemplo, sif(x1) está mucho m{as cerca de cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentra más cerca de x1 que de xu.
Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta.
La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz.
El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre de métodode la regla falsa o en latín, regula falsa. También se le conoce como método de la interpolación lineal.
Con el uso de triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje x se puede calcular de la siguiente manera:
f(x1) / xr - x1 = f(xu) / xr - xu
Que se puede resolver para:
xr = xu - f(xu) (x1 - xu) / f(x1) - f(xu) 4.4
Esta es la formula de la regla falsa. El valor de...
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