Metodos numéricos: ecuaciones diferenciales

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SEP SNES DGEST

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA

Ingeniería Química

Métodos Numéricos

Unidad VI: Diferenciación, ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales

Profesor: Arturo Camargo Sánchez

Alumno: Flores Castañeda Erick

30 de Noviembre del 2009
Índice:

Introducción………………………………………………………………………… 3
6.1Solución de Ecuaciones Diferenciales valor inicial …………………………4

6.1.2.1 Métodos de un paso…………...…………………………………………..6

6.1.2.1.1 Método de Euler………………………………………………………….6

6.1.2.1.2 Euler Mejorado…………………………………………………………...9
6.1.2.2 Método de Ruge Kutta…………………………………………………...11
6.1.3 Métodos rígidos y de pasos múltiples y regla trapezoidal……..…….…13
6.1.3.1 Método de Eulerimplícito………………………………………………..14
6.1.3.2 Método de Heun……………………………………………………….....15
6.1.3.3 Método de Adams de cuarto orden ……………………………...…….17
6.1.4 Métodos de tamaño de paso variable…………………………………….19
6.1.4.1 Método adaptativo Runge Kutta………………………………………...19
6.1.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias……………………….20
6.1.6 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n…………..21
6.2.1 Métodos generales para problemas convalores en la frontera lineales y no lineales……………………………………………………………………………...22
6.2.1.1 Método de disparo………………………………………………………..22
6.2.1.2 Método de diferencias finitas………………….………………………..22
6.2.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales …………………...24
6.2.3 Solución de ecuaciones parciales elípticas por el método de diferencias finitas…………………………………………………………………………….….25
6.2.4 Soluciónde ecuaciones parciales parabólicas por el método de diferencias finitas…………………………………………………………………………….….26
Referencias……………………………………………………………………......26

Introducción:

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucran cambiosdescritos por las ecuaciones de diferenciales ya que relacionan cantidades que cambian.

Las ecuaciones diferenciales son el tipo de ecuaciones que surgen en diversas aplicaciones además de áreas de matemáticas e ingeniería.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistemabajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

En consecuencia es necesario hacer uso de los métodos numéricos para encontrar la solución de algunas ecuaciones diferenciales que es muy difícil ocasi imposible que se resuelvan de forma analítica.

Por los motivos antes descritos en el presente trabajo de investigación se desarrollan los métodos numéricos más usuales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Los cuales se serán desplegados de la manera más sencilla posible para que el lector pueda comprender en su máximo esplendor como es que se resuelve unaecuación diferencial con ayuda de métodos que se basan en pequeñas formulas las cuales después de hacer varias iteraciones te llevan a resultados muy buenos o casi perfectos a la respuesta deseada. También se podrá observar que aumentando la complejidad del método utilizado aumentara también la exactitud de nuestro resultado.

6.1.1 Solución De Ecuaciones Diferenciales:

Una ecuación diferencial esuna ecuación que contiene una o más derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

El orden de una ecuación diferencial lo determina la derivada mayor que existe en una ecuación. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ordinarias y parciales, según el tipo de derivadas que contengan.

La solución de una...
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