Metodos Numericos 2.1 y 2.2

2.1 Métodos de intervalo
Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos son el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. Por ejemplo: si en una recta se tiene un intervalo:[-2,2], en este espacio se encuentran losnúmeros -2,-1,0,1 y 2, entre infinitos otros números reales. Aquí se encuentra un intervalo, ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.
Existen dos notaciones principales:
• En un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos: por ejemplo: [a,b] (a y b están incluidos en el intervalo), y ]a,b[ (a y b están excluidos del intervalo).
• En la otranotación se utilizan corchetes y paréntesis: por ejemplo: [a,b] (a y b están incluidos en el intervalo), y (a,b) (a y b están excluidos del intervalo). Para indicar que uno de los extremos está excluido y el otro incluido, se combinan los símbolos correspondientes de la notación que se esté usando: por ejemplo: (a,b] (a excluido, b incluido). Gráficamente, la notación con corchetes y corchetesinvertidos puede entenderse y recordarse de esta manera:

Existe una regla mnemotécnica para el uso de la notación con paréntesis: si se dibujan sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0, 1) y (1, 2) (es decir, se dibuja la recta real y se colocan cuatro paréntesis donde corresponde), entre los dos intervalos puede pensarse que "cabe" un signo 1 (o lo que corresponda según losintervalos). Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2) el número "no cabe". O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para insertarlo en medio.
Clasificación De Intervalos
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus característicasmétricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

Notación Intervalo Longitud (l) Descripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).
intervalo abierto en a, cerrado en b.
intervalo abierto.
Intervalo(semi) abierto.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) abierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.
x no existe Sin longitud conjunto vacío.

Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y desu radio:
Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota esteconjunto:
_
B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.
Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre losintervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].
Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c.
De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos,...