Metodos numericos EDP

M´todos Num´ricos para Ecuaciones en
e
e
Derivadas Parciales
Luis Ferragut Canals
Mabel Asensio Sevilla

3 de septiembre de 2007

´
Indice general

1. Espacios de Sobolev

6

1.1. Nociones sobre teor´ de distribuciones . . . . . . . . . . . . .
ıa

6

1.2. El espacio de Sobolev H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1
1.3. El espacio H0 (Ω) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Un teorema de la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1. Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2. Caso B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Aplicaciones del teorema de la traza . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Un resultado de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28
1.7. Los espacios de Sobolev H m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Formulaci´n d´bil de problemas el´
o
e
ıpticos

30

2.1. Problemas variacionales abstractos . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Problema de Dirichlet homog´neo asociado al operador −
e

. 34

2.3. Problema de Neumann homog´neo asociado al operador − +Id 37
e
2

´
INDICE GENERAL
2.4.Problema de Dirichlet no homog´neo asociado al operador −
e

40

2.5. Problema de Neumann no homog´neo asociado al operador
e
− + Id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6. Problema de contorno asociado a un operador el´
ıptico de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Un ejemplo sin unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49
2.8. Deformaci´n el´stica de un s´lido . . . . . . . . . . . . . . . . 53
o
a
o

3. Aproximaci´n num´rica mediante el M´todo de Elementos
o
e
e
Finitos
58
3.1. Aproximaci´n variacional abstracta . . . . . . . . . . . . . . . 58
o
3.2. Construcci´n de espacios de Elementos Finitos . . . . . . . . . 61
o
3.2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.2. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.3. Elementos Finitos de Lagrange en un d−simplex . . . . 65
3.2.4. Un m´todo general para construir a partir de un elee
ˆ ˆ ˆ
mento finito (T , P , Σ) toda una familia de elementos
finitos (T, P, Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5. Construcci´n de subespacios de H 1 . . . . . . . . . . . 76
o

4.An´lisis num´rico del M´todo de Elementos Finitos
a
e
e

81

4.1. Resultados generales de aproximaci´n en espacios de Sobolev . 81
o
4.2. Aplicaci´n al an´lisis num´rico del M.E.F. en problemas el´
o
a
e
ıpticos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3

´
INDICE GENERAL
5. Aspectos pr´cticos y programaci´n del M.E.F.
a
o
5.1. Un M´todo de ElementosFinitos para el problema de Poisson
e

96
96

5.2. C´lculo de la matriz del sistema de ecuaciones y del segundo
a
miembro: Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3. Un m´todo general para el c´lculo de matrices y vectores elee
a
mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4

´
Indice de figuras

3.1. Ejemplo de triangulaci´n . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
o
3.2. tri´ngulo de seis nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
a
3.3. funci´n p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
o
3.4. funci´n p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
o
3.5. funci´n p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
o
3.6. funci´n p4 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
o
3.7. funci´n p5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
o
3.8. funci´n p6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
o
5.1. Ejemplo de triangulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
o
5.2. Ejemplo de una funci´n base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
o
5.3. funci´n λ1 . . . . . . ....