Metodos numericos

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Cálculo de raíces de ecuaciones
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0
Su importancia radica en que si podemosdeterminar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...
Existen una serie de reglasque pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:
• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signoopuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar quetendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientesenteros:
[pic]
entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.
Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:
3x3 +3x2 - x - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
[pic]

y después multiplicamos por 32:
y3 + 3y2 -3y -9 = 0

con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:[pic]
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, [pic](que es además la única raíz racional de la ecuación).

Método de la bisección

Es el método máselemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de estepunto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.
Fórmula
  xr =(xi + xs)/2

 
 
 [pic] 
  Figura: Diagrama de...
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