Metodos numericos

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CUADRATURA DE GAUSS

Para hallar la estimación de la integral de una curva, uso dos nodos distintos x1 y x2 interiores al intervalo [-1, 1], entonces la línea recta que pasa por (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) corta a la curva por tanto el área limitada por la recta es una aproximación mejor al área por la curva

El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de unaecuación de la forma:

Selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos X1, X2, . . .,Xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2, . . ., Cn, para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación

A continuación se explica el método para como llegar a una formula mas general y poder tratarproblemas de integración en un intervalo arbitrario.

Esta ecuación puede diferenciarse para dar:

Las anteriores ecuaciones podrán sustituirse para x y dx, respectivamente, en la evaluación que se habrá de integrar.. Esas sustituciones transforman el intervalo de integración sin cambiar el valor de la integral.

Fórmula de punto superior

La fórmula anterior para la cuadratura de Gaussera de dos puntos. Se pueden desarrollar versiones de punto superior en la forma general: I ≈ c0f(x0) + c1f(x1) + c2f(x2) +…+ cn-1f(xn-1) con n: número de puntos.

Debido a que la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de la función en puntos espaciados uniformemente dentro del intervalo de integración, no es apropiada para casos donde se desconoce la función. Si se conoce la función, suventaja es decisiva.

DERIVADAS NUMERICAS

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho puntoMide el coeficiente de variación, es decir indica que tan rápido crece o decrece una función en un punto

TEOREMA DE TAYLOR

Proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y susderivadas en otro punto. Particularidad: “cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio”

[pic]: Residuo de aproximación de n -ésimo orden

[pic]: Valor de que se encuentra en algún punto entre [pic] y [pic] .

[pic] : Tamaño de paso o incremento.. [pic]

[pic] : Derivada de orden n

VENTAJAS

← El uso de pocos términos dará una aproximación cercana a lasolución verdadera

← Para determinar cuántos términos se requieren para una “aproximación razonable” se basa en el término residual de la expresión. Es útil además para la evaluación de errores de truncamiento

DESVENTAJAS

← [pic] no se conoce con exactitud.

← [pic] se necesita conocer para determinar las derivadas.

ERROR DE TRUNCAMIENTO: Son aquellos que resultanal usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

DIFERENCIACION NUMERICA

APROXIMACION DE LA PRIMERA DERIVADA CON SUSTITUCION HACIA DELANTE

• [pic] se le conoce como la primera diferencia hacia adelante

• [pic] longitud del intervalo sobre el cual se realiza la aproximación.

• [pic] se le conoce como primera diferencia finita dividida.APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIA HACIA ATRÁS

APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRADAS

EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON. Es un procedimiento alterno al de las diferencias finitas divididas que utiliza dos estimaciones de la derivada para calcular una tercera aproximación mas exacta.

DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS :Consiste en ajustar un polinomio deinterpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de 3 puntos adyacentes

[pic] [pic] [pic]

METODO DE EULER

Está basado en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado y(xo) = yo, Sólo funciona para sistemas de...
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