Metodos Numericos

Cristian Amador Loli Prudencio
Capítulo

4

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
MÉTODO DEL PUNTO FIJO Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuaciónpor una equivalente, x = g(x), definida en la forma g(x) = f(x) + x, u otra alternativa. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0).Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores  x0 , x1 , x2 ,..., xn ,... , que si converge, tendrá como límite la solución del problema.

Figura1: Interpretación geométrica del método de
las aproximaciones sucesivas.

En la figura 1 se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y =g(x0). La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a la solución final. Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el métodosólo podrá converger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura 2. Esta condición,que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir la función g(x) del siguiente modo:
g ( x)  x  f ( x)

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de forma que tomando un valor de la condición de la derivada.

adecuado, siempre podemos hacer que g(x) cumpla

Figura 2: Demostración gráfica de que el método
de las aproximacionessucesivas diverge si la derivada g'(x) > 1.

EJEMPLO 1: Hallar un punto fijo de la función g(x) = x3 – x + 1 Solución: Debemos hallar x tal que x = g(x) Partimos de x0 = 0.5, generamos la sucesión x1= g(x0) = 0.625 x2 = g(x1) = 0.6191 x3 = g(x2) = 0.6182 x4 = g(x3) = 0.6181 x5 = g(x4) = 0.6180 x6 = g(x5) = 0.6180 …. La cual es la aproximación a la raíz con 4 cifras decimales de precisión...