Metodos numericos

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La toletancia E se puede utilizar con cualquier de los siguientes criterios
A)  |Xn+1 – Xn|<E
B) |Xn+1 – Xn| <E
|Xn+1|
C) |F(Xn)|<E
Fijar un numero máximo de iteraciones  n=N paradetenerse 
Si se satisface la tolerancia E especificada , se toma como solucuion aproximada

Metodo de Punto Fijo :
F(x)=0…….(1)
X=G(x)….(2)
 Es decir  : F(alfa)=0 <-> alfa=G(alfa)Una raíz alfa de( 1)
Es tmbn solución de la ecuación (2)
A cualquier solución de alfa de la ecuación (2) se llama solucion de punto fijo 
De G . cada una de las  funcioneas G se lllama funciónde iteración
Una vez que se escoge una función de iteración se define el algoritmo de punto fijo , como:
Xn+1=G(Xn) , donde Xn>0
Donde X es una aproximación inicial
Para que este algoritmosea eficaz se debe garantizar
1. La sucesión [Xn], n>0 converge a un punto alfa
2. El limite es un punto fijo de alfa

Teorema
Sea la función de iteración g € C[a,b], para todo x € [a,b]y además existe una constante k<1 tal que para todo x€[a,b], g(x)<=K, entonces g tiene exactamente un punto fijo “alfa” € [a,b] y comenzando con cualquier punto X0 € [a,b] la sucesión generadapor el algoritmo de punto fijo converg a alfa, y además se satisface:
xn-α≤ kx1-k|x1-x0|

Ejemplo Resolver: Lnx+x=0
α ϵ [0.5;0.65]
Resolucion
X=-lnx
-lnx = g(x)
g'(x)=-1/x
g'(0.5)=-2 -> |g'(0.5)|=|-2| -> 2>1, x ϵ [0.5;0.65]

no cumple con una de las hipótesis del Teorema, Entonces hallamos otra función iteración
lnx+x=0
lnx=-x
elnx=e-x
x=e-x
g(x)= e-x
Verificamos lashipotesis del teorema y g es continua en [0.5; 0.65]:
g(0.5)= e-0.5=0.6065…
g(0.65)= e-0.65=0. 5220…
g(x)€ [0.5; 0.65]

g’(0.5)= -e-0.5=-0.6065…
g’(0.65)= -e-0.65=-0. 5220…

|g’(0.5)|= 0.6065…<1
|g’(0.65)|= 0. 5220… <1

Se verifica las hipótesis del teorema
Entonces se define el algoritmo de PUNTO FIJO

xn+1=gxn=> xn+1= e-xn

Tomando como X0 = 0.5 como aprox. inicial...
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