Metodos Numericos

1. INTRODUCCION

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos en este caso emplearemos tres métodos numéricos, Bisección, Newton y secante, para resolver problemas de distintas aéreas relacionadas con la ingeniería.

2. MARCO TEORICO
2.1 MÉTODO DEBISECCIÓN
El método consiste en considerar un intervalo (a, b) en el que se garantice que la función tiene raíz.
* El segmento se bisector, tomando el punto de bisección p como aproximación de la raíz.
* se identifica luego en cual de los dos intervalos esta la raíz.
Si: f(a).f(p)>0 la raíz esta en el intervalo { p, b }
Si: f(a).f(b)<0 la raíz estaen el intervalo { a, p}
* El error de cada aproximación se calcula (b-a)/2
* el proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección p coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz cuando el error toma un valor muy pequeño.

Ventajas:
* Siempre converge.
* Útil como aproximación inicial de otros métodos.
Desventajas:
* Convergencia lenta.

2.2 MÉTODODE NEWTON
Se necesita un calor inicial próximo a la raíz, con ese valor se extiende una recta tangente a f(x) desde el punto [xi, f(xi)]. El punto donde esta tangente cruza el eje x, es una nueva aproximación a la raí
Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de su primera derivada.
Se usa la proyección de la recta tangente para encontrar el valoraproximado de la raíz.
x=xi-f(xi)f'(x)

Desventajas:
* No existe un criterio general de convergencia.
* Se debe tener un valor suficientemente cercano a la raíz.
* Apoyarse de herramientas gráficas.
* Evaluación de la derivada.

2.3 MÉTODO DE SECANTE
Cuando existe problema de derivar una función, la derivada se puede aproximar a través de una secante que corta en dos puntosxi+1 y xi, la derivada se puede aproximar a la pendiente de esa secante
Este método necesitará dos aproximaciones iníciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.
x=xi-

Xi-1
xi
Xi+1
f(xi-1)
f(xi)
A
E
B
D
C
x

3. DESARROLLO

1) Un cable catenario es aquel que cuelga ente dos puntos que no tienen la misma línea vertical. Se describe en la figura 1, no estasujeto a otras cargas más que su propio peso. Entonces, el peso W(N/m) actual como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable. El diagrama de cuerpo libre de una sección AB se describe en la figura 2 donde TA y TB son las fuerzas de tensión en sus extremos. Basados en un balance de fuerzas horizontales y verticales, el siguiente modelo de ecuación diferencial se puede derivar:El calculo se puede emplear para resolver esta ecuación para una altura Y del cable en función de la distancia x.

Donde el coseno hiperbólico puede calcularse por

a) Use el método numérico para calcular el valor para la tensión TA dados los valores de los parámetros w=10 y0 =5, de tal forma que el cable tenga una altura y=15 en x=50
Utilizando el método de bisección sustituimos laidentidad del coseno hiperbólico y despejamos para igualar a 0

Sustituyendo valores iníciales tenemos:

Ahora graficamos la ecuación para saber su comportamiento y los puntos en los que corta al eje x

Nos damos cuenta que el valor de 1200 ≤ TA ≤ 1400
Utilizamos el método de bisección
Entrada:
a=1200, b=1400, N=100, Tol=0.0001

Salida: Solución aproximada p=… o mensaje de fracaso.Paso1
Tome i=1
Paso2
Mientras i<N hacer pasos 3-6
Paso3
Tome p=a+b-a)2
p=1200-1400-12002
p=1300.0
Paso4
f(p)= -0.2654965087938592 = 0? false
Error = b-a2 = 1400-12002
Error = 100.0
Error < 0.0001 ? falso

Paso5
i=i+1 , i=2
Paso6
f(a)*f(p)= -0.15086722169479172 < 0
b=p=1300
[1200,1300]
paso2
i<N hacer pasos 3-6

Tabulando:
0) a= 1200.0...