Metodos Numericos

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Universidad Austral de Chile
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“Trabajo grupal externo N°1”
Métodos numéricos para ingeniería




Profesora responsable: Fredna Riquelme




Problema 1
“Potencial eléctrico en una región del plano: la ecuación de Laplace en 2D”
Considere el problema clásico dehallar el potencial eléctrico asociado a una distribución de cargas en el plano. Sea Ω : =0,1 x 0,1 el cuadrado de lado 1, y f :Ω⇾R+ una función positiva que representa la densidad superficial de cargas en Ω. Para simplificar esta primera introducción al tema, supondremos que tal distribución de cargas es constante e igual 1. Designe por u : Ω ⇾R la función que representa el potencial eléctrico enla región Ω. Suponga ahora que se sabe el potencial u sobre el borde de Ω (es decir, sobre cada una de las cuatro aristas que definen el cuadrado) es constante. Sin perder generalidad, podemos asumir entonces que u=0 en ∂Ω (el “borde” de Ω). Bajo estas condiciones, el potencial eléctrico u satisface la ecuación de Laplace

Se sabe que bajo las condiciones anteriores existe una única solución deeste problema en derivadas parciales. Ahora bien, en vez de calcular explícitamente tal solución trataremos de hallar una aproximación numérica de los valores de u en ciertos puntos bien determinados de Ω. Más específicamente para n∈N fijo, i,j∈0,1,…, n definamos los puntos de la malla o nodos xi,yj=(ih,jh) donde h=1n es el paso de la mal. Así mismo denotamos los valores de u en la malla comoui,j=xi,yj. Con esto, es natural aproximar las derivadas parciales de u que intervienen en (1) mediante las siguientes diferencias:

De manera análoga se obtienen las aproximaciones para las derivadas parciales con respecto de y. Con esto el Laplaciano de u en el punto xi,yj se puede aproximar por:

Finalmente, hemos obtenido un nuevo problema cuya solución aproxima la solución del problema 1.El nuevo problema se puede escribir del siguiente modo

donde se asume que ui,j = 0 si i=0 o i=n o j=0 o j=n. Note que con todo lo anterior redujimos la complejidad del problema diferencial (1) a este nuevo problema de algebra lineal, que con las definiciones pertinentes puede reescribirse como:
Hallar la solución x del sistema lineal Mx=b (3)
Note ahoraque en (2) hay (n-1)2 incógnitas. Luego para poner tal problema en el esquema (3), M debe ser una matriz de (n-1)2 filas y (n-1)2 columnas. Además las incógnitas ui,j están determinadas por dos índices (i y j) mientras que en (3) se sobreentiende que las incógnitas están indexadas sólo por un índice (es decir que la solución x de (3) se puede escribir como x=(x1,x2,…,xn)).
Tomando enconsideración todo lo expuesto anteriormente, en esta parte del se solicita lo siguiente:
1. Escriba una rutina en MatLab, M = ensamblalaplaciano (n) que ensamble los coeficientes de la matriz del sistema asociada a una malla de n+1 puntos.
Para lograr ensamblar los coeficientes de la matriz M es necesario estudiar y analizar las ecuaciones del punto (2) que la conforman.
Mediante el siguiente ejemploparticular (n=4, M [9,9]) se muestra cómo se expresaron las ecuaciones para generar un algoritmo que permita introducir los coeficientes de la ecuación a la matriz M en MatLab.

Utilizando este caso particular se deduce una expresión general con la que se obtiene la siguiente rutina implementada en MatLab para ensamblar los coeficientes de la matriz M:
n=10 %15, 20, etc.
M=zeros((n-1)^2);
forj=1:(n-1);
for i=1:(n-1);
row=(i-1)*(n-1)+j;
M(row,(i-1)*(n-1)+j)=-4;
if i+1<n;
M(row,(i)*(n-1)+j)=1;
end;
if i-1>0;
M(row,(i-2)*(n-1)+j)=1;
end;
if j+1<n;
M(row,(i-1)*(n-1)+j+1)=1;
end;
if j-1>0;
M(row,(i-1)*(n-1)+j-1)=1;
end;
end;
end;
M...