Metodos nunericos

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 METODOS DE BISECCION
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar laaproximación.
•bisección
xi = 12, xs = 16
xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs
f(xi) = f(12) = 6.067
f(xr) = f(14) = 1.5687
f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr
n = 2

xi = 14, xs = 16 , xr = 15
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xr) = f(15) = −0.4248
f(xi) f(xr) = (1.5687)( −0.4248) < 0, la raíz se encuentra en este subientervalo, xs = xr
Ea ={15−14/15} x 100 = 6.667 %
n = 3

xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xi) =f(14.5)= 0.5523
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.5−15/14.5} x 100 = 3.448 %
n = 4

xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75
f(xi) = f(14.5) = 0.5523
f(xi) =f(14.75)= 0.05896
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.75−14.5/14.75} x 100 = 1.695 %
n = 5

xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875
f(xi) = f(14.75)= 0.5896
f(xi) =f(14.87)= −0.1841
f(xi) f(xi) < 0, xs= xr
Ea = {14.875−14.75/14.875} x 100= 0.840 %
n = 6

xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125
Ea = {14.8125−14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %
Ea < _
0.422% < 0.5 %
xr = 14.8125
iteración Xi Xs Xr Ea %
1 12 16 14 6.667
2 14 16 12 3.448
3 14 15 14.5 1.695
4 14.5 15 14.75 0.480
5 14.75 15 14.875 0.422
6 14.75 14.87514.8125


 METODO DE LA REGLA FALSA O FALSA POSICION
Este , método utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz. De acuerdo a la siguiente figura:




La intersección de la línea recta con el eje de la x puede estimarse:
f(xi ) = f(xs) (2.4)
xr − xi xr – xs

Reagrupando términos y reordenando
f(xi) (xr − xs) = f(xs) (xr −xi)
xr { f(xi) − f(xs) } = xs f(xi) − xi f(xs)

dividiendo entre
f(xi) − xi f(xs) =
xr = xs f(xi) − xi f(xs) (2.5)
f(xi) − f(xs)

Separando términos:
xr = xs + xs f(xi) − xi f(xs)
f(xi) − f(xs) f(xi) − f(xs)

Sumando y restando xs en el lado derecho
xr = xs + xs f(xi) − xs xi f(xs)
f(xi) − f(xs) f(xi) − f(xs)

Agrupando términos se obtiene:
xr = xs + xs f(xs) − xi f(xs)
f(xi) −f(xs) f(xi) − f(xs)
xr = xs − f(xs) (xi −xs) (2.6)
f(xi) − f(xs)

El algoritmo es idéntico al de bisección, excepto que la ec. (2.6), se usa en el paso 2.

Ejemplo
Use el método de la falsa posición, para determinar la raíz de la ec. analizada en el ejemplo 2.1

f ( c ) = 667.38/c { (1−e−0.146843 c) } −40
n = 1

xi = 12 f(xi) = 6.067
xs = 16 f(xs) = −2.2687

xr = 16 − (−2.2687) (12−16) = 14.911
6.067 − (−2.2687)
f(xr) = −0.25426

f(xi) f(xr) = 6.067 (−0.25426 ) < 0, xs = xr
n = 2

xi = 12 f(xi) = 6.067
xs = 14.9112 f(xs) = −0.25426
xr = 14.9113 − (−0.25426) (12 −14.9113) = 14.7942
6.067 − (−0.25426)
f(xr) = −0.0.2726

f(xi) f(xr) < 0, xs = xr
Ea = {(14.7942−14.9113)/14.7942} x 100% = 0.79 %
n = 3

xi = 12 f(xi) = 6.067
xs = 14.7942 f(xs) = −0.02726
xr =14.7942 − (−0.02726) (12 −14.7942) = 14.7816
6.067 − (−0.02726)
xr = 14.7816

Ea = {(14.7816−14.7942)/14.7816} x 100% = 0.087 %
Ea < _
0.087 < 0.5 %


 METODODE NEWTON RAPHSON

Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:

Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi) }.
El punto donde está tangente cruza el eje x,representa una aproximación de la raíz.
De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.
f´(x) = f(xi) − 0
xi − xi + 1

Reordenando:
Xi +1 = xi − f(xi) Fórmula de Newton−Raphson ( 2.9 )
f´( xi )

Esta ecuación también puede obtenerse mediante la serie de Taylor.
f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f (xi)h2+ f'(xi)h3 + .....fn(xi)hn
2! 3! n!

Truncando la serie de Taylor...
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