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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Petróleo, gas Natural y Petroquímica

CUARTA PRACTICA

PERTENECE: Julio Bonilla Lovera
Codigo: 20072176b

Curso:
Metodos Numericos

Profesor:

CERDA HERNANDEZ JOSE JAVIER

2010 – I

Problema 1

Sea  P (t) el número de individuos de una población en el instante t,  medido en años. Si la tasa de natalidad  b  esconstante y la tasa de  mortalidad   d   es proporcional al tamaño de la población(debido a la sobre población), entonces  la tasa de crecimiento de la población se modela mediante la ecuación logística

P'(t) = bP(t) - kP^2(t)

Suponiendo que P(0)=50976,    b=2.9*10^(-2)  y   k=1.4*10^(-7), determine la población después de 5 años. ¿Que ocurre con la población después de un  tiempo biengrande?

|T[años] |P(T)[Numero de individuos] |
|0 |50976 |
|1 |52098.6947624008 ||2 |53237.686508973 |
|3 |54392.8433543766 |
|4 |55564.015859489 |
|5|56751.0367608802 |

La población después de 5 años es:56751 personas
Después de un tiempo grande se observa que la población se mantiene constante
Para t=800 años hay 207143 personas

Solución

METODO DE RUNGE_KUTTA:

Function [A]=rungekuta_ejercicio
a=0;
b=5;
t=0;
y=50976;
h=1;n=(b-a)/h;
X(1,1)=t;
X(2,1)=y;
for i=1:n;
K1=h*((0.029*y)-(0.00000014*(Y^2)));
K2=h*((0.029*(y+k1/2))-(0.00000014*((y+k1/2) ^2)));
K3=h*((0.029*(y+k1/2))-(0.00000014*((y+k2/2) ^2)));
K4=h*((0.029*(y+k1/2))-(0.00000014*((y+k3) ^2)));
y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
t=a+i*h;
X(1,i+1)=t;
X(2,i+1)=y ;
end
n=length(x(1,:));
for i=1:n-1;
m(i)=(x(2,i+1)-x(2,i))/(x(1,i+1)-x(1,i));
b(i)=x(2,i);x=X(1,i):1:X(1,i+1);
y=m(i)*(x-x(1,i))+b(i);
hold on;
plot(x,y,’r’);
display([x’ y’])
end
for i=1:n;
hold on;
plot (X(1,i),X(2,i),’*’,’MarkerEdgecolor’,r’,’line width’,1);
title(‘interpolation de los puntos por “splines” de orden 1.’);
end

Problema 2

Población de peces: El modelo respectivo a trabes del  tiempo puede ser expresada mediante la ecuación diferencial:

y' = y - y^2/12- H      ,  donde H  es la tasa  de captura

(a) Si  H=0  entonces  no hay captura y por lo tanto debe  haber sobre población. Resuelva el siguiente PVI:

y' = y -y^2/12,      y0 Є [0,20]         y (0)=y0,   t>= 0.

Haga un programa que permita visualizar en un grafico la población de peces  para  t  en   [0,10]  (en años), el intervalo de población a mostrarse deberá ser [0,20](toneladas). Se deberá tomar diferentes  valores iniciales de y0  para  el mismo  t0=0.  Obtenga conclusiones de sus resultados numéricos.

SOLUCION

Function [A]=rungekuta_ejercicio_2a
a=0;
b=10;
t=0;
y=8;
h=1;
n=(b-a)/h;
X(1,1)=t;
X(2,1)=y;
for i=1:n;
K1=h*((y)-((Y^2)/12);
K2=h*((y+k1/2))-(((y+k1/2) ^2)/12);
K3=h*((y+k2/2))-(((y+k2/2) ^2)/12);
K4=h*((y+k3))-(((y+k3) ^2)/12);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
t=a+i*h;
X(1,i+1)=t;
X(2,i+1)=y ;
end
n=length(x(1,:));
for i=1:n-1;
m(i)=(x(2,i+1)-x(2,i))/(x(1,i+1)-x(1,i));
b(i)=x(2,i);
x=X(1,i):1:X(1,i+1);
y=m(i)*(x-X(1,i))+b(i);
hold on;
plot(x,y,’r’);
display([x’ y’])
end
for i=1:n;
hold on;
plot (X(1,i),X(2,i),’*’,’MarkerEdgecolor’,r’,’line width’,1);
title(‘interpolation de los puntos por “splines” de orden 1.’);
end...
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