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TEORÍA DE CONJUNTOS

1.1. Conjunto. Matemáticamente conjunto es un concepto primitivo que no se define. Intuitivamente se entiende como la agrupación o colección de objetos denominados elementos del conjunto.

Notación. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, M, N, P, L etc. y sus elementos con letras minúsculas a, b, x, y, etc.

1.2. Relación entre elemento yconjunto. Relación de pertenencia[pic] y no pertenencia[pic].
Ejemplo. Cero es un elemento de los números naturales escribiremos: [pic]
[pic] no pertenece a los números enteros escribiremos: [pic]

1.3. Determinación de conjuntos

a) Por compresión. Es cuando se define el conjunto enunciando una propiedad o propiedades que caracteriza a los elementos del conjunto.Ejemplo. A = {x/ x es un número natural menor que 5}

b) Por extensión. Es cuando se nombra en forma explícita a los elementos del conjunto.
Ejemplo. A = {0, 1, 2, 3, 4}

1.4. Clases de conjuntos

a) Conjuntos finitos.- Cuando el conjunto tiene un número determinado de elementos.
Ejemplos: A = {x /x es día de la semana}
M = {x/x es letra del alfabetogriego}

b) Conjuntos infinitos.- Cuando el conjunto tiene un número infinito de elementos.
Ejemplos: [pic], donde [pic], denotan el conjunto de los números naturales, enteros, irracionales y racionales respectivamente.
M = {x / x son los puntos de una recta}

c) Conjunto vacío.- cuando el conjunto no tiene elementos y se simboliza {}, ó [pic]
Ejemplos:
[pic][pic]
[pic]

d) Conjunto Unitario.- Es aquel que tiene exactamente un elemento.
Ejemplos: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]

e) Conjunto universal (U). Es el conjunto que contiene a todos los elementos que están siendo considerados en un estudio o contexto particular. El universo es relativo, ununiverso de referencia, donde se estudia problemas particulares de los diferentes campos del saber humano. Por ejemplo, si se quiere hacer una encuesta sobre la intención de voto con relación a las elecciones presidenciales en el Perú, el conjunto universal estará formado por todos los peruanos que pueden hacer uso del derecho a elegir; si deseamos estudiar las propiedades de los números reales eluniverso será el conjunto de los números reales.
Notación.- Usualmente el conjunto universal se denota por la letra U.
Ejemplo: [pic]

1.5. Diagramas de Venn [pic] Euler

Son figuras geométricas como rectángulos, circunferencias, triángulos etc. que sirven para representar gráficamente los conjuntos y las operaciones que se pueden definir entre ellos.
Ejemplo:

1.6 Relaciónentre conjuntos (inclusión o contenido)

Diremos que un conjunto A está incluido en el conjunto B, lo que denotamos por A[pic]B si y solo si todo elemento de A también es elemento de B. En caso contrario diremos que el conjunto A no está incluido en el conjunto B y denotaremos por [pic].

En símbolos:

Observación.- Si [pic], se dice que A es subconjunto de B, y si [pic] se dice que Aes subconjunto propio de B.

Mediante los diagramas de Venn podemos visualizar la inclusión

Ejemplo:
Si [pic], se tiene que:[pic]

1.6.1. Propiedades de la inclusión

i) Reflexiva.- Todo conjunto está contenido en sí mismo [pic]
ii) Transitiva.- [pic]
Ilustrando la propiedad transitiva mediante los diagramas de Venn, tenemos:

1.7. IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dados dosconjuntos A y B, diremos que son iguales si tienen los mismos elementos y denotaremos:

Es decir dos conjuntos son iguales si y solo si se verifica la doble inclusión.
Si los conjuntos no son iguales escribiremos [pic]

Ejemplo:
Si [pic] se tiene que [pic]
Ejercicio:
¿Cuáles de las siguientes pares de conjuntos son iguales?
a) [pic]es triángulo equilátero} y B = {z : z es triángulo...
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