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111
INTRODUCCiÓN
Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra "linear' en el diccionario se encuentra. entre otras definiciones. la siguieOle: lineal: (del laL lim'lIlis). l. adj. Perteneciente o relativo a la línea.' Sin embargo. en matcminicas la palabra "lineal" tiene un significado mucho mÍls amplio. Una gran parte de la tcoria de álgebra lineal elemental es, de hecho.una generalización de las propiedades de 1;.1 linea recta. A manera de repaso se darán algunos hechos fundamentales sobre las líneas rectas:
i. La pendiente m de llna recta que pasa por los puntos (XI' J'I) Y(x" Y2) eslú dada por
III=~=Xl +.1'1 .1. x

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

y,-y

i.\y

siX1oF-X

1

ii. Si Xl - XI = OY)'2 ;t.)'I' entonces la ree!JI es vertical y sedice que la pendieme es illddillida. l iii. Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene llrHl pendiente indefinid:l) se puede deseribir:ll escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada J = mx + b. donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de.r en el punto en el que la recta cruza el eje r).

iv. Dos rectas distintas son pamlelas si y sólo si tienen la mismapendiente. v. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by calcular fácilmente. m = -alb.

= c. (b ~ O). entonces se puede

vi. Si m r es la pendiente de la recta Lro I/l! es la pendiente de la recta Lr m r *- OY L r }' L! son perpendiculares. entonces m~ = -llm l • vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero. viii. Las rectas paralelas al eje.r tienen una pendienteindefinida. En la sección que sigue se ilustr3r.l la relación que e..,---"IIX

x
O
"Ir"f

+ UI~Y = b,
a 2.."

+ U I2 Y = b,
b2

"2r

+ "n.' = b1

+ "22.1' =

+ "12Y = b l uux + uny= b 2

ti)

Rectas no paralelas: un punto de intersección

b) Recias paralelas: sin

e) Rectas que coinciden: numero infinilo

punlos de intersección

de PUnlOS de intersect"ión

Figura1.1
Dos lenas se inletSKal'1 en un PU"ltQ. en ÑngunD o (si eoincJllen) en un rUnero lI1fin¡tO lit puntos..

Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente. Geométricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero. se repile que ambas ecuaciones del sistema (1) son de líneas rectas. Una solución a (1) es un punID (x, y) que se encuentra sobre las dosrectas. Si las dos rectas no son paralelas. eOlonces se iOlersccan en un solo punto. Si son paralelas. eOlonces nunca se intersccan (es decir. no tienen puntos en común) o son la misma recta (esto es. tienen un número infinito de puntos en común). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientcs de 1 y -1, respectivamente. por lo que no son paralelas y tienen un solo punto en común (6. -1). En el ejemplo2. las rectas son paralelas (tienen pendiente 1) Ycoincidentes. En el ejemplo 3. las rectas son paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en la figura 1.1. Ahora se procederá a resolver el sistema (1) formalmente. Se tiene
allx + Gil." = bl
(I¡IX

+ anJ' = b~

(1 )

Si

1112

=

O. entonces x =

b
.....!..

Yse puede usar la segunda ecuación para despejar y.

a"

bSi a" = 0, entonces x = .....l... Yse puede usar la primera ecuación para despejar y. .. a
21

Si {j11 =

(/11

= O. entonces el sistema (1) contiene sólo lIna incógnila. x.
y

Así. se puede suponer que ni "Il ni (/22 son cero. Si se multiplica la primera ecuación por (/22
(l1I(/22 X (l12(/W'"

la segunda por (111 se tiene
(/2l

+ 11lla1l J' = + 1111(/22 Y =

bl

(l12 2

b(5)

SISTEMAS

1:

EQUIVALENTES

Antes de continuar se puede ver que los sistem,ls (1) Y(5) son equinllcntes. Esto quiere decir que cualquier solución del sistema (1) es una solución del sistema (5) y viceversa. Ello se concluye directamente del hecho B. suponiendo que l' 110 es cero. Después.. si en (5) se resta la segunda ecuación de la primera. se obliene
(6)

Es necesario hacer...
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