Micro Avanzada

B1. Se puede considerar variable aleatoria la calificación que obtenga un estudiante de preparatoria que ingresa a la universidad debido a que la calificación toma un valor numérico y esta no esconocida, antes de presentar el examen no es posible saber el resultado que obtendrá. Y cada examen que se presente puede producir resultados distintos.
B.2 Normal (5,4), µ=5, σ=2:
P( X≤6) = P( (X-5)/2≤ (6-5)/2 ) = P ( Z ≤ ½ ) = 0,69
P( X ˃ 4) = P( (X-5)/2 ˃ (4-5)/2 ) = P ( Z ˃ -½ ) = 1 – 0,3085 = 0,69
P( |X-5| ˃ 1) = 2 x P( (X-5) ˃ 1 ) = 2 x P( (X-5)/2 ˃ (6-5)/2) = 2 x P(Z ˃ ½ )= 2 x (1 – 0,69)=0,62
C.1
i) E(Ȳ) = ¼ E( Y1 + Y2 +Y3 + Y4 ) = ¼ (4 µ ) = µ
Var(Ȳ) = 1/16 ( ∑i4 Var (Yi) ) = 1/16 ( ∑i4 σ2 ) = 1/16 (4 σ2) = ¼ σ2
ii) E(W) = 1/8 E(Y1) + 1/8 E(Y2) + 1/4 E(Y3) + 1/2E(Y4)
= 1/8 µ + 1/8 µ + 1/4 µ + 1/2 µ
= µ ; Dado E(W) = µ , W es un estimador insesgado de µ
Var(W) = Var [1/8 (Y1) + 1/8 (Y2) + 1/4 (Y3) + 1/2 (Y4) ] ,dado que son variables independientes:
= 1/64 Var(Y1) + 1/64 Var(Y2) + 1/16 Var(Y3) + 1/4 Var(Y4)
= 1/64 σ2 + 1/64 σ2 + 1/16 σ2 + 1/4 σ2= σ2 (1/64 + 1/64 + 1/16 + 1/4 )
= 11/32 σ2
iii) Los estimadores son insesgados, pero Ȳ posee la varianza menor que W, por esto prefiero Ȳ.
iV) E(Wa) = a1E(Y1) + a2 E(Y2) + a3 E(Y3) + a4 E(Y4)
= a1 µ + a2 µ + a3 µ + a4 µ
= µ (a1 + a2 + a3 + a4 ); la condición que se debe cumplir es que: a1 +a2 + a3+ a4 =1
V) Var (Wa) = a12 Var(Y1) + a22 Var(Y2) + a32 Var(Y3) + a42 Var(Y4)
= σ2 (a12 + a22 + a32 + a42 )

C.2
i) E(Wa) = E (∑in ai Yi ) = ∑in ai E(Yi ) = µ ∑in ai ;Para que sea insesgado ∑in ai = 1
ii) Var (Wa) = Var (∑in ai Yi ) = ∑in Var (ai Yi ) = ∑in ai2 Var (Yi ) = ∑in ai2σ2 = σ2 ∑in ai2
C.3
i) E(W2) = E (Ȳ/2) = ½ E(Ȳ/2) = ½ µ
Sesgo (W2)...