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En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica sobre un anillo conmutativo A constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales (es decir, usando sólo las operaciones internas delanillo .
Por ejemplo:

es un polinomio, sin embargo:

no lo son, porque el primero involucra un exponente fraccionario y el segundo divisiones en la variable (una división entre la variable puede interpretarse como una potencia negativa en la variable).
[editar] Grado de un polinomio
El polinomio de un sólo término se denomina monomio; el de dos, binomio; el de tres, trinomio; el de cuatro,cuatrinomio o polinomio de "N" términos dependiendo de cuantos haya.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

por ejemplo:

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.
[editar] Historia

Volumen de una pirámide truncada.
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raícesde polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anterioresresultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.
Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de lasraíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo FontanaTartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentesentre las raíces de los polinomios.
La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.
[editar] Funciones polinómicas
Artículo principal: Función polinómica
Las funciones polinómicas son aquellas quesurgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones máscomplejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la...
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