militar

Departamento de Física Aplicada
Universidad de Castilla-La Mancha

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
OBJETIVO
Medida experimental de la variación exponencial decreciente de la oscilación en un
sistema oscilatorio de bajo amortiguamiento.

FUNDAMENTO TEÓRICO
A) SISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO
Un movimiento armónico simple1 exento de rozamientos está regido por una ecuación
del tipo siguiente:d 2z
dt

2

2
+ ω0 z = 0

(1)

donde z representa la variable característica del movimiento (puede ser una longitud, un
ángulo u otra magnitud física) y ω0 se denomina frecuencia angular del movimiento. La
frecuencia angular se relaciona con el periodo (tiempo invertido en una oscilación
completa) a través de la relación T0 = 2π/ω0, y la solución de la ecuación (1), la quedescribe la variación de la magnitud z con el tiempo, es de la forma:
z (t ) = A cos(ω0t + δ )

(2)

Véase que en esta ecuación existen DOS constantes arbitrarias, la primera es A
(amplitud, valor máximo de la oscilación alrededor de una situación de equilibrio), y la
segunda es δ, que nos indica la fase inicial, es decir, la separación de la posición de
equilibrio en el instante inicial t = 0.Uno de los sistemas físicos más sencillos en los que puede estudiarse el movimiento
armónico simple es el péndulo simple (o péndulo matemático), un punto material
suspendido de un hilo inextensible y sin peso, que puede oscilar en torno a una posición
de equilibrio. La distancia del punto pesado al punto de suspensión se denomina
longitud del péndulo simple. Aunque un péndulo matemático notiene existencia real, ya
que los puntos materiales y los hilos sin masa son entes abstractos, en la práctica se
1

Se recomienda repasar la teoría del movimiento armónico simple.

1/6

Departamento de Física Aplicada
Universidad de Castilla-La Mancha

puede considerar como tal a un cuerpo de reducidas dimensiones suspendido de un hilo
inextensible y de masa despreciable comparada conla del cuerpo.
El péndulo simple describe un movimiento armónico simple en torno a su posición de
equilibrio si sus oscilaciones son de amplitud suficientemente pequeña (en la práctica
cuando la amplitud sea inferior a 15º), y la ecuación diferencial que describe dichas
oscilaciones se puede escribir como:
d 2θ
dt

2

+

g
θ =0
L

(3)

donde θ designa al ángulo formado por el hilocon la vertical, L es la longitud de dicho
hilo y g es la aceleración de la gravedad.
El periodo del péndulo simple y su frecuencia angular están dados por:
T=

2π
2
ω0

= 2π

L
g

(4)

donde L representa la longitud medida desde el punto de suspensión hasta la masa
puntual y g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se ha instalado el péndulo.
Finalmente la ecuaciónque nos da el ángulo en función del tiempo es de la misma
forma de la ecuación (2), siendo en este caso la variable dependiente θ(t).

B) SISTEMA AMORTIGUADO
Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la
descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al
caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamientoproporcional a
la velocidad (buena aproximación en muchos casos), la ecuación diferencial del
movimiento es la siguiente:
d 2θ
dt

2

+γ

dθ
2
+ ω 0θ = 0
dt

(5)

donde γ es la constante de amortiguamiento y los demás símbolos tienen el significado
que se señaló anteriormente. La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de
oscilaciones amortiguadas, es decir,oscilaciones en que la amplitud decrece con el
tiempo.

2/6

Departamento de Física Aplicada
Universidad de Castilla-La Mancha

Sin entrar en la teoría de resolución de ecuaciones diferenciales, diremos que cuando el
amortiguamiento es pequeño2, la variación temporal del ángulo θ con el tiempo, a la que
dθ 

designaremos θ& θ& =
 puede escribirse como:
dt 


θ& =

dθ
= Ae−γt / 2...