Minimos Cuadrados

Páginas: 9 (2249 palabras) Publicado: 24 de abril de 2011
MÍNIMOS CUADRADOS

El resultado del ajuste de un conjunto de datos a una función cuadrática.
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
Ensu forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMSminimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.
Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticoscarecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando laentropía.
Contenido [ocultar] * 1 Historia * 2 Formulación formal del problema bidimensional * 3 Solución del problema de los mínimos cuadrados * 3.1 Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal * 3.1.1 Corolario* 3.2 Deducción geométrica del problema discreto * 4 Mínimos cuadrados y análisis de regresión * 5 Referencias * 6 Véase también * 7 Enlaces externos |
[editar]Historia

Carl Friedrich Gauss.
El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchoscientíficos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir a Zach, astrónomo alemán, reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya loshabía planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis solem ambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805.
En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razóndel éxito maravilloso de este procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov.
[editar]Formulación formal del problema bidimensional
Supóngase el conjunto de puntos (xk,yk), siendo . Sea fj(x), con  una base de m funciones linealmente independientes. Queremos encontrar una función  combinaciónlineal de las funciones base tal que , esto es:

Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximación puede variar, pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. El error en un punto (xk,yk) se podría definir como:

En este caso se trata de medir y...
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