Mios

AREAS.

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo
(imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -
no como los antiguos griegos- pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dandouna primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA

Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo

cerrado
[a,b],

el área de la región limitada por la gráfica de

f, el eje x y las rectas verticales
por:
x ’ a y
x ’ b

viene dadab
Area ’ ∫ f ( x ) dx
a

Observemos la siguiente fig 1:

FIG 1.

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las

rectas verticales
x ’ a y
x ’ b . Podemos hallar el área de laregión R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva
f ( x ) ’ 4

y las rectas
x ’ −3 y
x ’ 2 .

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f espositiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

FIG 2.
[pic]

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
2
∫4 dx
A = −3

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL:Ahora procedemos a evaluar la
integral.

2
∫ 4 dx
A = −3

4x 2
= − 3

= 4( 2 ) − 4( −3 ) ’ 20

Luego el área de la región es 20 u2.

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede
encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto devista se puede hacer lo siguiente:

A = b h
= ( 2 − ( −3 ))( 4 )
= ( 5 )( 4 )
= 20.

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados
equivalentes.

EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la

curva
f ( x ) ’ x 3 + x

acotada por
[− 5,5] .SOLUCION:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

FIG 3.
[pic]

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las

rectas
x ’ −5 y
x ’ 5

dividen la región en dos partes; A1 y
A2 respectivamente. También se puede verque el intervalo
[− 5,5] se
puede dividir en dos, así:[− 5,0]
y [0,5]. Luego el
área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

A = A1 + A2

0 5
A = ∫( x 3 − x ) dx + ∫( x 3 − x ) dx
−5 0
3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de lasiguiente forma:

0 5
4 2 ⎞
⎟

4 2 ⎞
⎟
A ’ ∫( x 3 − x ) dx + ∫( x 3 − x ) dx ’
⎜ 4 +
⎝
+ +
2 ⎟ − 5 ⎜ 4
⎠ ⎝
2 ⎟ 0
⎠
−5 0

( −5 )4

( −5 )2

54 52
’ − − + +
4 2 4 2...