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11. Integrales impropias

11.1. Definición de Integrales Impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas
(integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos
presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de
integrales, sino una extensión natural a laspropiedades de la integral y un replanteamiento de
nuestro concepto de área bajo la curva.

∫

b

a

f ( x ) dx , es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:

1.- a = - ∞ o b = ∞ , a = - ∞ y b = ∞

[ ]

2.- f (x) no es acotada en alguno de los puntos de a, b , dichos puntos se llaman singularidades
de f (x) .

Existes diversos tipos de integrales impropias las cualesdefiniremos a continuación:

pág. 1

pág. 2

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es
convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Algunos ejemplos resueltos:

La integral converge a 1.

pág. 3

La integral converge a

−

1
.
2 ln 5

11.2. Integral Impropia de 1° clase

Integral impropia de 1raclase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si

es convergente

luego es
convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo
el área bajo la curva

Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva

pág. 4

se puede decir que éste valor es

con

Como

para

Area =

Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.

2)

Se toma un valorpara calcular

y luego se hace tender

Ejemplo 4: La región limitada por la curva
encontrar el volumen del sólido obtenido.

el eje

hacia -

, el eje

rota alrededor del eje

Utilizando discos
Volumen
=

Ejemplo 5: Determinar si

es convergente o divergente

utilizando fracciones parciales

pág. 5

Es decir

;

=

Como

es una forma indeterminada se debemirar si se puede levantar la indeterminación

Así :

3)
Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea
impropia en uno solo de los límites de integración

Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva

Por lo que la curva es siempre positiva Area=
respecto al eje
Area=2

pág. 6

y el eje

. Pero como la curva es simétrica con

Ejemplo 7: Determinar si

converge o diverge

como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si

existe

por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente
divergente y el resultado

pág. 7

no da cero.

podía haber sido

Si es una función contínua en un intervaloexiste

Si es discontínua en se hace
la integral es convergente si no que es divergente.

y si este límite existe se dirá que

Si es discontínua en

con la misma observación anterior

se hace

Si es discontínua en algún número

pero contínua en todos los demás valores

aplicándose sobre el número

11.3. Integral Impropia de 2° clase

pág. 8

lo que se describió

Sedenomina integral impropia de segunda especie dependiente del parámetro t a una
integral de la forma donde para cada , es continua salvo en un punto y es infinito alguno de
los límites laterales de cuando x tiende a .
NOTAS:
1) Usando la propiedad de aditividad respecto del intervalo de integración, siempre se
puede suponer que es uno de los extremos del intervalo.
2) La teoría correspondientea las integrales impropias de segunda especie dependiente de
un parámetro es análoga a la correspondiente a las de primera especie.
3) La integral con continua salvo en un punto , donde es infinito alguno de los límites
laterales se denomina impropia de tercera especie dependiente de un parámetro. Para
trabajar con este tipo de integrales, se usa la aditividad respecto del intervalo de...