Mis trabajos
Problemas resueltos
1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización 4 1 α(t) = t ı + t3/2 + t k, 3 2
Solución: 1 α (t) = (1, 2t1/2 , ), 2
t ∈ [0, 2].
t ∈ [0, 2].
La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable. α (t) =
La longitud de α será:
2
1 + 4t +
1 1√ = 5 + 16t 4 2
s=
0 2
α (t) dt = 1√ 1 1 2 5 + 16tdt = . . (5 + 16t)3/22 2 16 3
2
=
0
=
0
√ √ 1 (37 37 − 5 5) 48
2. La ecuación de una curva es y 2 = x3 . Halle la longitud del arco que une (1, −1) a (1, 1). Solución:
Problemas resueltos
Parametrizamos la curva de la forma: x = t2 , evitamos los radicales). Así: α(t) = (t2 , t3 ), y = t3 , (con esta parametrización ∀t ∈ R
α (t) = (2t, 3t2 ),
α es de clase C 1 en R y además la parametrizacióndada recorre la curva en el sentido que se pide porque: α(−1) = (1, −1), α (t) =
La longitud del arco será:
1
α(0) = (0, 0),
α(1) = (1, 1).
4t2 + 9t4 = |t| 4 + 9t2 .
s=
−1
α (t) dt =
1
1
0
=
−1
|t| 4 + 9t2 dt =
0
1
t 4 + 9t2 dt −
−1
0
t 4 + 9t2 dt =
√ 1 (26 13 − 16). 27
1 = (4 + 9t2 )3/2 27
1 − (4 + 9t2 )3/2 27 0
=
−1
3. Calcule
αz,
dondeα es la curva descrita por la parametrización con 0 ≤ t ≤ 2π.
α(t) = t cos t ı + tsen t + t k Solución: α(t) = (t cos t, tsen t, t),
α (t) = (cos t − tsen t, sen t + t cos t, 1), t ∈ [0, 2π].
α es de clase C 1 (α es continua). α (t) =
Sea f (x, y, z) = z. Entonces
2π
2 + t2
z=
α 0 2π
f (α(t)). α (t) dt = t 2+
0
=
t2 dt
1 = (2 + t2 )3/2 3
2π
=
0
1 3
√ (2+ 4π 2 )3 − 2 2 .
La integral de línea
4. Calcule (0, 1). Solución:
C (x
+ y), siendo C un triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y
Sea C la trayectoria del triángulo recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Siendo α1 (t) = (t, 0), α2 (t) = (1 − t, t),
α3 (t) = (0, 1 − t), y puesto que α1 (0) = (0, 0) = α3 (1), α1 (1) = (1, 0) = α2 (0) y α2 (1) = (0, 1) = α3 (0)
α1 (t)= (1, 0), α2 (t) = (−1, 1),
α3 (t) = (0, −1),
α1 (t) = 1, α2 (t) =
t ∈ [0, 1].
t ∈ [0, 1]. t ∈ [0, 1].
√ 2,
α2 (t) = 1,
podemos considerar C como el arco unión C = α1 ∪ α2 ∪ α3 . Entonces: (x + y) =
C α1 1
(x + y) +
α2 1√ 0
(x + y) +
α3
1
(x + y) =
t2 √ t2 + 2t + t − 2 2
1
tdt + 0 √ = 1 + 2. =
2dt +
0
(1 − t)dt =
=
0
Problemas resueltos
5. Unalambre tiene forma de circunferencia, x2 + y 2 = a2 . Determine su masa y su momento de inercia respecto de un diámetro si la densidad en un punto (x, y) del alambre está dada por la función f (x, y) = |x| + |y|. Solución: La masa del alambre viene dada por la expresión: M=
γ
f (x, y) =
γ
|x| + |y|
siendo γ la curva cuya trayectoria representa la forma del alambre, en este caso unacircunferencia que parametrizamos por: γ(t) = (a cos t, asen t), que es de clase C 1 γ (t) = (−asen t, a cos t)
2π 2π
t ∈ [0, 2π]
→
γ (t) = a
M=
0
f (γ(t)) γ (t) dt =
0
(|a cos t| + |asen t|) adt =
π
= a2
0
π/2
(cos t + sen t)dt + a2
(− cos t + sen t)dt+
π/2 2π
+ a2
3π/2 π
(− cos t − sen t)dt + a2
π/2
(cos t − sen t)dt =
3π/2
= a2 [sen t − cos t]0π + a2 [−sen t − cos t]π/2 +
+ a2 [−sen t + cos t]3π/2 + a2 [sen t + cos t]2π = 8a2 . π 3π/2
La integral de línea
Para calcular el momento de inercia respecto de un diámetro necesitamos la distancia de un punto cualquiera (x, y) a dicho diámetro. Para simplificar, tomaremos como eje el eje OX, por tanto, la función que da la distancia de un punto al eje es r(x, y) = |y|. Teniendo en cuentala definición (1.11) del momento de inercia respecto de un eje se tiene:
I=
γ
y 2 (|x| + |y|) =
2π
= a4 − a4 − a4
+ a4
sen 2 t(|sen t| + | cos t|)dt = a4
0
π/2
sen 2 t cos tdt−
π 0
0 3π/2 π/2 2π π π
0
sen 2 t cos tdt + a4 a4 3
sen 3 t
2π 3π/2
sen 2 t cos tdt + a4
− sen 3 t
2π π 3π/2 π/2
sen 3 tdt−
2π 3π/2
sen 3 tdt =
π 0
+ sen 3 t
+
sen t...
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