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M´todo de Newton-Raphson e
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 13 de noviembre de 2008

´ Indice
18.1. Introducci´n . . . . . . . . . . o 18.2. M´todo de Newton-Raphson . e 18.3. Ejemplo . .. . . . . . . . . . 18.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2

18.1.

Introducci´n o

Elm´todo de Newton-Raphson es un m´todo de optimizaci´n iterativo que se basa en aproximar la funci´n e e o o a optimizar por medio de la serie de Taylor hasta orden 2. Tiene la ventaja sobre el m´todo deascenso m´s e a r´pido que no requiere un proceso iterativo para determinar hasta donde moverse. a

18.2.

M´todo de Newton-Raphson e

Suponga que se desea minimizar la funci´n f (x) con nvariables y que ´sta se aproxima utilizando el o e desarrollo de Taylor hasta orden. As´ ı 1 f (x) ≈ φ(x) = f (xo ) + (x − xo )′ ∇f (xo ) + (x − xo )′ Hf (xo ) (x − xo ) 2 Si la aproximaxi´n de f (x) porφ(x) es buena, un m´ o ınimo relativo f (x) se podr´ aproximar por un m´ ıa ınimo relativo de por φ(x). Supongamos que x1 es un m´ ınimo relativo de φ(x), entonces x1 es un punto estacionario para φ(x),as´ ∇φ(x1 ) = 0. Desarrollando el gradiente de φ(x), sustituyendo x1 por x e igualando a 0 tenemos: ı ∇f (xo ) + Hf (xo )(x1 − x0 ) = 0 Si la matriz hessiana Hf (xo ) es invertible tenemos que x1 = xo− Hf −1 (xo )∇f (xo ) (1)

La expresi´n anterior se usa como una ecuaci´n de recurrencia para dado un punto inicial generar una suceci´n o o o de puntos que deben converger al m´ ınimo local de f (x).Como calcular la inversa de una matriz tiene una mayor complejidad (8/3 n3 ) que resolver un sistema de ecuaciones (2/3 n3 ), la expresi´n Hf −1 (xo )∇f (xo ) se obtiene o resolviendo el...
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