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Quinto postulado de Euclides
El quinto postulado de Euclides dice, literalmente:
Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.
Euclides
El quinto postulado, conocido como el de las paralelasa pesar de que en el no se hace referencia a paralelas, es el mas famoso de estos 5 postulados, pues de un lado garantiza que en dos rectas que se cortan tienen un punto en común.
 Incluso desde su formulación, que se la reconoce a Euclides, entre los griegos hubo quienes no vieron con buenos ojos este postulado, adolecía de falta de evidencia ya que involucra a una acción que se puede extenderen el tiempo, pues se requiere prolongar indefinidamente dos rectas. De otro lado, la forma de este postulado, diferente a la de otros cuatro en cuanto que utiliza una frase condicional, “... si un hecho sucede entonces otro echo debe suceder...” insinúa que mas bien era un teorema y que se podía demostrar a partir de los otros cuatro postulados. |
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El «Quinto postulado deEuclides». Los ángulos α + β < 180º.
Euclides, en su tratado "Los Elementos", construye toda la Geometría hasta entonces conocida –la que luego se llamó Geometría euclidiana– basándose en tan sólo 13 definiciones, ocho nociones comunes y cinco postulados.
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Algunas formulaciones equivalentes del V postulado
La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de lasmedidas de] dos ángulos rectos.
Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
1. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
2. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Claudio Ptolomeo siglo II).
Ésta es, sin duda, la formulación más conocida del postulado. Tanto es así que es muyfrecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.
3. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo, siglo V).
4. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
5. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella,constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
6. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
7. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
8. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
9. Se puede construir un triángulo cuyaárea sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
10. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).
No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).
La dificultad y el problema
Para la mentalidad contemporánea resulta difícil entender que se considerara polémico el V postulado. Esto es así porque elenunciado que se ha popularizado hasta sustituir al enunciado original es el de Ptolomeo (el 3º en el apartado Algunas formulaciones equivalentes del V postulado). Pero, aunque es equivalente, el enunciado original es: Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado enel que están los [ángulos] menores que dos rectos.
Los cinco postulados de Euclides son los siguientes:
1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre...