Modelación termodinámica

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ELÍPTICAS CON MATLAB

Por:
Juan Pablo Rendón Álvarez
Alexander Arango Gómez
Diego Fernando Carrillo Ayala

Resumen

Utilizando métodos numéricos se modeló matemáticamente el comportamiento de la temperatura en una piscina rectangular de 20m x 50m, estimando para ello unos valores iniciales de frontera que permiten la solución al sistema estudiado y un tamaño depaso h adecuado al problema planteado. Para ello se empezó definiendo el método iterativo de Dirichlet para la solución de ecuaciones elípticas, además se considera un sistema aislado y estacionario. Se concluye sobre el resultado dependiendo del caso específico en el que se requiera la distribución de temperatura a lo largo de la piscina.

----- Palabras clave: Ecuación elíptica, Laplaciano,Dirichlet, temperatura, arista, métodos numéricos, conducción de calor.-----


1. Introducción

El cálculo se ha convertido en la primera herramienta de la ciencia y de la tecnología para la modelación de fenómenos físicos, permitiendo hacer estimaciones de los procesos que se presentan en la naturaleza. Ello se consigue mediante el conocimiento de algunos parámetros iniciales que en generalson medidos en campo, y la evaluación de pequeños cambios en variables de interés, como la temperatura, la velocidad, la presión, etc.

Sin embargo la solución de muchos problemas quedaba rezagada, dada la imposibilidad para hallar analíticamente funciones que representaran el comportamiento de esas variables reales. Inconveniente que comienza a ser resuelto a la par con la evolución de lossistemas computacionales y su capacidad para realizar un gran volumen de iteraciones en, relativamente, cortos periodos de tiempo. Y aunque dichas soluciones son apenas aproximaciones discretas para fenómenos que se plantean en principio para medios continuos, funcionan muy bien a nivel práctico, lo que les ha otorgado amplia popularidad en el campo de la ingeniería.

Lo que se pretende mostrar eneste artículo es la manera en la que se resuelven ecuaciones en derivadas parciales elípticas con condiciones de Dirichlet, utilizando los principios mencionados en los párrafos anteriores y mostrando como ejemplo, la resolución de un problema de temperatura en la superficie de una masa de agua, donde se conocen condiciones particulares en las fronteras del volumen de control.

2. Ecuacioneselípticas y ecuación de conducción de calor

Una ecuación en derivadas parciales es una ecuación de la forma:

A∂2f∂x2+B∂2f∂x∂y+C∂2f∂y2=g(x,y,f, ∂f∂x,∂f∂y) Ecuación 1.

Cuando A, B y C son constantes, la ecuación se denomina casi-lineal y existen tres ecuaciones de este tipo:

Si B2-4AC<0, la ecuación se llama elíptica.

Si B2-4AC=0, la ecuación se llama parabólica.

Si B2-4AC>0, laecuación se llama hiperbólica [1].

Sobre las ecuaciones elípticas, que son el caso de interés en este artículo, se puede decir que se obtienen generalmente cuando se estudian procesos físicos estacionarios, y de ellas la que aparece más frecuentemente es la ecuación de Laplace [2], que tiene la forma:

∇2f≡∂2f∂x2+∂2f∂y2=0
Ecuación 2.

En la que ∇2f es la representación del Laplaciano dela función f.

Por ejemplo, si se considera un campo térmico, la ecuación de conducción de calor, que permite conocer la temperatura en todos los puntos de un cuerpo homogéneo e isotrópico [3] (al que no le varía las propiedades con respecto a las direcciones) es:

∇2T=1k∂T∂t
Ecuación 3.

Donde T(x,y,z,t) es la función de temperatura en el punto de coordenadas (x,y,z) y en el tiempo t, y kes la conductividad térmica del material evaluada como la razón entre la conductividad térmica K0 y el producto entre la capacidad calorífica c y la densidad del material ρ [3], que pueden ser consultados en una tabla.

k=K0ρc
Ecuación 4.

Al analizar con detalle la ecuación 3, se concluye que es una ecuación en derivadas parciales de tipo parabólica. Más si se considera que el campo...
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