Modelacion matematica

1.

Sistemas Físicos

1.

Sistemas Físicos_______________________________________________ 1

1.1. Introducción ____________________________________________________________

_____ 2 1.2. Sistemas Mecánicos ___________________________________________________________ 3 1.3. Sistemas Eléctricos ____________________________________________________________

5 1.4. Sistemas Hidráulicos__________________________________________________________ 7 1.5. Sistemas Múltiples ___________________________________________________________ 11

1

1.1.

Introducción

Sistemas lineales y no lineales. No existen sistemas lineales Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.

2

1.2.

Sistemas Mecánicos

Ejemplo 1. Traslación Mecánica Ley deNewton

ma = ∑ F ma ( t ) = −bv ( t ) − kx ( t ) + p ( t )
m d 2 x (t ) dt
2

[1.1] [1.2]

= −b

dx ( t ) dt

− kx ( t ) + p ( t )

[1.3]

d 2 x (t ) dx ( t ) m +f + kx ( t ) = p ( t ) 2 dt dt

[1.4]

  [ g ]  m seg 2  +  Nseg m   m seg  +  N m  [ m] = [ N ]          

[1.5]

3

Ejemplo 2. Rotación Mecánica

Ley de Newton

Jα = ∑ P
Ahora quierover cómo varía la velocidad

[1.6]

J ω ( t ) = −bω ( t ) + P ( t )
  rad  + [ Nm ]  Nmseg 2   rad 2  = [ Nmseg ]    seg   seg   

[1.7]

[1.8]

4

1.3.

Sistemas Eléctricos

Ejemplo 3. Circuito Eléctrico Ley de Kirchhoff

L

di 1 + Ri + ∫ idt = e dt C
tensión en el condensador 1 ∫ idt C

[1.9]

ec =

[1.10]

[ H ]  A seg  + [Ω][ A] +  1 F  [ Aseg ]= [V ]      
En términos de carga eléctrica,
d

[1.11]

dq 2 1 di dt + R dq + 1 q = L d q + R dq + 1 q L + Ri + ∫ idt = L dt C dt dt C dt dt C d 2q dq 1 +R + q=e L dt dt C
[1.13]

[1.12]

5

comparar esta ecuación con la de traslación mecánica.
Ejemplo 4. Sismógrafo

mx0 + b ( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) = 0 y = ( x0 − xi ) my + by + ky = 0

6

1.4.

SistemasHidráulicos

Ejemplo 5. Nivel de Líquidos

Qo = K H linealizando
qo = R0 h

la constante
dv = qi − qo dt dh A = qi − Ro h dt

7

Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques
q1 = h1 − h2 R1

A1

dh1 = q − q1 dt

h2 = q2 R2 A2 dh2 = q1 − q2 dt

8

Ejemplo 7. Sistema Neumático

Se define

 Kg  d ∆P  m 2  variaciòn de diferencia de presión de gas  = R= =  variaciòn de caudal dq  Kg  seg     Kg  3 dm dρ 3   m  = variaciòn de la masa de gas acumulado  C= =V = m  dp dp    Kg  variaciòn de presión de gas 2  m   
9

en una aproximación, se puede considerar
dρ 1 = dp nRgasT

para una misma temperatura, esta variación es constante En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada
d ∆P pi − po R= ≈ dq q−0

C=

dmqdt dρ = =V dpo dpo dpo

Cdpo = qdt

C

dpo pi − po = dt R dp RC o + po = pi dt

10

1.5.

Sistemas Múltiples

Ejemplo 8. Sistemas múltiples

m1 x1 + b1 ( x1 − x2 ) + k1 x1 = u1 m2 x2 + b1 ( x2 − x1 ) + k2 x2 = u2

11

Ejemplo 9. Acelerómetro

la caja está unida a la estructura del avión

mx0 + b ( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) − mgsen (θ ) = 0 y = x0 − xi my + by + ky = − mxi+ mg sen (θ )
nuevas variables

z = y+
w = xi

mg sen (θ ) k

mz + bz + kz = − mw b k z + z + z = −w m m

12

Ejemplo 10. Tren de Engranajes

J1θ1 + f1θ1 + T1 = Tm J 2θ 2 + f 2θ 2 + T3 = T2

igualdad de trabajos
T1θ1 = T2θ 2 T2 = T1 N2 N1 N4 N3

J 3θ 3 + f 3θ 3 + Tl = T4

T4 = T3

N3 N1 N 3 θ3 = θ 2 = θ1 N4 N2 N4

13

J1θ1 + f1θ1 +

N1 N N J 2θ 2 + f 2θ 2 + 1 3 J 3θ3 + f 3θ 3 + Tl = Tm N2 N2 N4

(

)

(

)

  N12 N12 N 32  N12 N12 N 32  N12 N 32  J1 + N 2 J 2 + N 2 N 2 J 3  θ1 +  f1 + N 2 f 2 + N 2 N 2 f 3  θ1 + N 2 N 2 Tl = Tm 2 2 4 2 2 4 2 4    

J1eqθ1 + f1eqθ1 + T1eql = Tm

14

Ejemplo 11. Tanque Agitado
Fi , Ti

h

Fst
T

Q

F ,T

Masa total de líquido en el tanque

ρV = ρ Ah
V : volumen del líquido
A, h :...