Modelad

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Modelo con ecuaciones diferenciales

Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos, este sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y seforma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, se puede tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones, o tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

La formulación de un modelo matemático implica:
-Identificar las variables causantes delcambio de un sistema.
-Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema

Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

Diagrama de flujo para un Modelado
[pic]Ejemplos de formulación de modelos

1).-Crecimiento de una Población.- El crecimiento de una población fue uno de los primeros intentos de modelo de ecuaciones, el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798.
En pocas palabras es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de esepaís en
cualquier momento t. Es decir, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:
[pic]
donde k es una constante de proporcionalidad.
2).-Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su superficie.
Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad detiempo.

1. Variables:
La incógnita del problema: volumen (es función del tiempo).

Notación matemática:
V : volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, es función del tiempo.

2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:
En los datos: La esfera se derrite a razón proporcional al área de su superficie, es decir, el volumen de la esfera varía arazón proporcional al área de su superficie.

La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo: dV/dt .
Expresión de la ley en forma matemática: dV/dt= k 4πr2,
r es el radio de la esfera, r = r(t).

3. Planteamiento de la ecuación:
Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V :
[pic]
Sustituyendo:
[pic]
Ecuación diferencial que proporcionael volumen en cualquier tiempo t.

Ecuaciones diferenciales generales

Como ya se ha visto en clase se sabe que si una ecuación contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED).
También tenemos que tomar en cuenta que dichas ecuaciones se clasifican de acuerdo con sutipo, orden y linealidad.

Clasificación según el tipo
- Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:
[pic]
-Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o masvariables independientes, se dice que es una ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo:
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Clasificación según el orden
-El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:
[pic]

Clasificación según la linealidad o no linealidad
-Una E.D. es lineal si tiene la forma:
[pic]

Es decir, la variable...
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