Modelamiento de sistemas

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Modelos para Procesos, M. Duarte Mermoud

MODELOS PARA PROCESOS
Manuel A. Duarte Mermoud
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Chile
Casilla 412-3, Santiago
CHILE
Resumen: En este capítulo se analizan las diferentes metodologías para la modelación de
sistemas dinámicos tanto en tiempo continuo como discreto.
1.
MODELOS
CONSERVACIÓN

BASADOS

EN

LEYES

DEconservación macroscópica y ley de conservación
microscópica, siendo el primero de ellos el que se acaba
de formalizar.

La obtención de un modelo para un sistema determinado
puede realizarse de muchas formas, según el tipo
análisis que se desee realizar. En particular, muchos
procesos físicos son modelables a través de leyes de
conservación de algún parámetro. Como ejemplo,
parámetros que sepueden conservar son: la energía, la
masa, la cantidad de movimiento, la carga eléctrica, etc.

En los procesos modelados por la ley de conservación
macroscópica sus propiedades globales no presentan
variaciones espaciales, por lo tanto, F y G , son
funciones que dependen sólo del tiempo. El modelo
matemático producido, tomando en cuenta estas
consideraciones, resulta ser una serie deecuaciones
diferenciales de primer orden. Se llama, en términos de
Teoría de Sistemas, que es un modelo de parámetros
concentrados.

Esta constancia da lugar a ecuaciones de balance en un
cierto instante y lugar del espacio. La forma general de
las ecuaciones de balance dentro de un sistema es:

En los procesos modelados por la ley de conservación
microscópica, distinguimos que: el balancese realiza en
un elemento de volumen dV, y por lo tanto aparecen
dependencias espaciales en F y G. De esta forma, se
obtiene un modelo matemático en derivadas parciales
con una dependencia tanto espacial como temporal, y en
Teoría de Sistemas es llamado un modelo de
parámetros distribuidos.

(Acumulación de X) = (entrada neta de X) +
(generación neta de X)
donde la ganancia netacorresponde a la siguiente
ecuación:
(entrada neta de X) = (entrada de X) - (salida de X)

Una manera entonces de modelar sistemas consiste en
aplicar las leyes de conservación y obtener las
ecuaciones de balance, las que constituyen el modelo
matemático buscado.

y la generación neta corresponde a la siguiente
ecuación:
(generación neta de X) = (generación de X) (desaparición de X)

1.1Estanque Agitado

Precisando lo anterior, y con el propósito de lograr las
ecuaciones generales, se definen los siguientes
términos:
F (t ) : Flujo neto de entrada de X al sistema.

Para ejemplificar el trabajo anterior se tomará un
estanque en su forma mas básica (Figura 1.1), también
llamado estanque agitado, para luego, mediante
incorporación de otros elementos, lograr una mejoraproximación de la realidad.

G (t ) : Velocidad de generación de X en el sistema.
∆t : Intervalo en el que se considera acumulación.

La ecuación de conservación de masa para este caso
queda establecida como:

Luego, la acumulación, entrada y generación de X en el
sistema quedan determinadas por las expresiones:
X (t + ∆t ) − X (t ) : Acumulación de X

(tasa de acumulación) = (flujo entrada)- (flujo salida)

F (t )∆t : Entrada neta de X
G (t ) ∆t : Generación neta de X

Suponemos en adelante que la densidad del fluido

ρ

es

constante. La tasa de acumulación se define como la
tasa de cambio del volumen de fluido respecto del
tiempo, o sea, dV dt . Si el volumen es igual al área

Dado que la acumulación de X es igual a la entrada neta
de X más la generación de X,entonces el balance para
X queda descrito por la ecuación:

basal por la altura del fluido, siendo la sección
transversal constante, entonces la ecuación para este
sistema queda:

X (t + ∆t ) − X (t ) = F (t )∆t + G(t )∆t
dividiendo por ∆t y haciéndolo tender a cero:
dX (t )
= F (t ) + G (t )
dt

A

dz
= Fe − Fs
dt

donde:
A : Área de la sección transversal.
z : Altura del...
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