Modelo capm

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MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS DE CAPITAL (CAPM)1 Veamos el caso de un portfolio con N activos riesgosos. % Rp =
i = 1 N



Wi X i
N

:

~ E Rp =

~ ( ) ∑ Wi E ( Xi )
i= 1

~ ~ ~ VarR p = E R p − E R p

( ) [

( )]

2

 N ~ = E  ∑ Wi Xi − i= 1 

~  Wi E Xi  ∑  i= 1 
N

( )
N

2

 N ~ ~  = E  ∑ Wi Xi − E Xi  i= 1   

[

( )]

2

 N ~ ~ =E  ∑ Wi Xi − E Xi i= 1 

(

~ ~ ( ) ) ∑ Wj ( Xj − E ( Xj ) )
i= 1

  

 N N ~ ~ ~ ~  = E  ∑ ∑ Wi Wj Xi − E Xi Xj − E Xj   i= 1 j= 1   

(

( )(

( )

 N N  = E  ∑ ∑Wi Wj Cov ( Xi, Xj )   i= 1 j= 1   

 N N = E  ∑ ∑ Wi Wj σ  i= 1 j= 1 % Var Rp = W T S W

( )

 j = 

σ  σ S = .  . σ  

11 21

σ

12

........σ

N1

      σ NN 
1N

 W1  .   W=  .     WN 

1

Apuntes preparados para el curso de Finanzas 1 Otoño 2009

Para encontrar la frontera eficiente de un portfolio con N activos, elproblema a resolver es:
2

Min σ S . a.

~ ( Rp ) ~ E ( Rp ) = K

Min ∑

N N

i= 1 j= 1

∑ WiWj σ ij ∑ ∑
N

Wi Ri = K Wi = 1

donde

~ Ri = E Xi

s.a.

j= 1 N

( )

⇒ hay ventacorta

i= 1

Aplicando el método de Lagrange L=

i= 1j= 1

∑ ∑

N

N

Wi Wj σ ij −

 N   N ~ λ  ∑ Wi E Xi − k  − µ  ∑ Wi −     i= 1   i= 1

( )

 1  

∂L =0 ∂ Wii = 1,...., N

∂L = 0 ∂λ

∂L = 0 ∂µ

N + 2 ec.uaciones N + 2 incognitas Pero

Se resuelve para Wi y se obtiene la Frontera Eficiente

∂L = ∂ Wi



N

Wi σ ij − λ Ri − µ = 0

i =1,.....M

j= 1

Pero



N

j= 1

Wj σ ij = W1 σ

i1

+ W2 σ

i2

+ .... + Wn σ

in

N   = W1 Cov ( Ri, R1 ) + ...... + Wn Cov ( Ri, Rn ) = Cov  Ri, ∑ Wj Rj    j= 1  ∑
Luego

N

j= 1

Wj σ ij = Cov ( Ri, Rp )

∂L = Cov ( Ri, Rp ) ∂ Wi



λ Ri −

µ =0
⇒ Cov( Ri, Rp ) = 0

Si uno de los valores es un bono sin riesgo con rentabilidad Ri = RF ⇒...
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