Modelo de griffith para la propagación de grietas frágiles

MODELO DE GRIFFITH PARA LA PROPAGACIÓN DE GRIETAS FRÁGILES

Introducción

Griffith fue el primero en abordar adecuadamente el rol de las grietas en fractura frágil (1920). Nótese que en fractura frágil, las grietas se propagan en un campo elástico, puesto que no hay deformación plástica. La Fig. 1 muestra la curva de tracción de un material frágil. El problema que se aborda aquíconsiste en considerar que se tiene un material dado, con una grieta (ya existente) de extremos agudos, y de tamaño y geometría conocidos, y un nivel de esfuerzo conocido, ver Figura 2. La pregunta es: ¿se propagará esa grieta bajo tales condiciones?

Griffith publicó su trabajo, donde modeló la fractura frágil del vidrio, en una revista inglesa de gran prestigio. Pasaron varios años antes deque los ingenieros apreciaran esta contribución, no obstante las catastróficas rupturas de componentes de acero y fundiciones ferrosas, en puentes, calderas, buques, ascensores mineros, etc.

A primera vista, el material abordado por Griffith, el vidrio, parecía irrelevante; además, la metodología de Griffith, basada en un balance energético, hacía difícil la extensión de los cálculos ageometrías complejas de grietas. Sin embargo, hoy se reconoce la contribución fundamental de Griffith para la disciplina denominada Mecánica de la Fractura; la metodología de esta disciplina es más versátil que la de Griffith, aunque también se basa en la Elasticidad. Para la Mecánica de Fractura, el caso de Griffith es sólo un caso base, entre muchos otros casos. La Mecánica de Fractura, desdela Elasticidad Lineal, también ha buscado extenderse a materiales que presentan una moderada plasticidad, esto corresponde a la Mecánica de Fractura Elastoplástica.

A continuación veremos el Modelo de Griffith el cual, aún siendo muy sencillo, ilustra bien los conceptos fundamentales que rigen si una grieta de extremos agudos ubicada en un material dado, se propaga o no bajo un ciertonivel de esfuerzos, en un caso de geometría particularmente sencilla, ver Fig. 2.

Conceptos básicos de la Elasticidad Lineal

Consideremos un material frágil. En tal caso, no habrá deformación elástica, sólo plástica, ver Figura 2. Para el caso de los metales y cerámicos, tal Elasticidad es prácticamente Lineal, cumpliéndose la Ley de Hooke:

σ = E ε Ec. 1

donde σ es elesfuerzo, E el módulo de Young del material y ε la deformación. (Recuérdese que estamos en una situación de tracción donde la curva de ingeniería prácticamente coincide con la curva verdadera).

Otro resultado de la Elasticidad Lineal es que la energía elástica acumulada por unidad de volumen de material es igual al área bajo la curva de tracción. Tal área corresponde a un triángulo, ver Fig. 2:(UE / V) = ½ σ ε Ec. 2

donde V es el volumen del material.

Considerando que se cumple la Ley de Hooke, la última ecuación queda:

UE = ½ (σ2 / E) V Ec. 3

Enunciado del modelo de Griffith

Consideremos un material como el vidrio:
• Isótropo
• Elástico perfecto. Es elástico lineal y no presenta plasticidad, ver Fig. 1

Se aplicarán algunas ecuaciones yresultados de la Elasticidad Lineal.

El caso analizado por Griffith se presenta en la Fig. 2. Se trata de una plancha de espesor t, suficientemente delgada; en Elasticidad, esto significa que se está en un caso de “esfuerzo plano” donde el esfuerzo perpendicular a la plancha es nulo. Hay un esfuerzo aplicado σ, que es conocido y constante, ver Fig. 1. Los casos de las grietas agudas yperpendiculares al esfuerzo de las Figs. 1a y 1b son formalmente similares en su tratamiento. Ellos tienen idéntica solución si se cuida de emplear la nomenclatura definida en esa figura para el tamaño de la grieta. También se entiende que el tamaño de las grietas es suficientemente pequeño frente al ancho de la plancha; esto para que no haya interacción entre el campo de esfuerzo generado por la...