Modelo matemático: péndulo inverso

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Péndulo invertido

Un péndulo invertido es un problema clásico de control. El proceso es no lineal e inestable con una señal de entrada y múltiples señales de salida.El problema asemeja sistemas de control usados en proyectiles. El objetivo es balancear verticalmente un péndulo sobre un carrito. Es posible dirigir el carrito hacia diferentes posiciones con unaseñal de referencia.

F
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En la figura a continuación se hace un bosquejo de un péndulo invertido. El péndulo de masa m y longitud L es montado sobre un carrito de masa M. Elcarrito se mueve en la dirección x, dependiendo de la fuerza F suministrada.

Figura 1.- “Sistema de péndulo invertido montado sobre un carrito impulsado por una fuerza F”

Modelo matemáticoComo primer paso debemos tomar un sistema de referencias para así poder obtener los parámetros para realizar y obtener las ecuaciones que describen al sistema.
Nuestro sistema de coordenadasserán los ejes X-Y y a continuación iniciaremos definiendo las ecuaciones de movimiento que rigen a nuestro sistema.

Figura 2.- “Sistema de referencias X-Y”Partiremos con la premisa de que el ángulo de desfasamiento entre el péndulo y la vertical estará descrita por θ0.

Podemos definir las coordenadas del centroide de la masa m del péndulo consus componentes horizontal y vertical.

x+L·sin θ0 Coordenada para el eje horizontal.

L·cos θ0 Coordenada para el eje vertical.

De la 2ª ley de NewtonF=m·a derivando con respecto al tiempo podemos deducir que:

Md2xdt2+md2xdt2·(x+Lsinθ0) = F … (1)

Como ya sabemos que:

ddtsinθ0=cosθ0·θ0 … (2)

d2dt2sinθ0=-sinθ0·θ 0 2 + cosθ0·θ 0 … (3)

ddtsinθ0=-sinθ0·θ 0...
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