Modelo matematico ecuaciones diferenciales

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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Cierto producto químico se disuelve en agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en la solución real. Si se sabe que en 100g de una solución saturada están disueltos 50g de la sustancia. Si se agitan 30g del producto químico con100g de agua en 2 horas se disuelven 10g. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas?
CONDICIONES INICIALES
t=0 Q=30
t=2 Q=20
t=6 Q=?
Q (t)= Numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante (t)
Cr (t)= (3o-Q)/100 Concentración Real
Cs (t)= 50/100 Concentración saturada
De acuerdo a la condición del problema
(dQ(t))/dt= kQ (cs-cr)
(dQ(t))/dt= kQ (50/100- (30-Q)/100)
(dQ(t))/dt= kQ ((50-(30-Q))/100)
(dQ(t))/dt= KQ ((50-30+Q)/100)
(dQ(t))/dt= KQ ((20+Q)/100)
Separando Variables
dQ/(20+Q)= Qk/100dt
100dQ/((20+Q)(Q))= kdt


∫▒100dQ/((20+Q)(Q))= ∫▒kdt

Integro por fracciones parciales
∫▒100dQ/((20+Q)(Q))= ∫▒A/Q dQ + ∫▒B/((20+Q)) dQ
Multiplico por m.c.m
Q(20+Q) 100/(Q(20+Q))= Q(20+Q) A/Q + Q(20+Q) B/(20+Q)
100 = A(20+Q) +B(Q)
Hacemos Q= -20
100= A (20-20) + B(-20)
100= -20B
B= _100/20
B= -5
Hacemos Q= 0
100= A (20+o) + B(0)
100= 20A
A= 100/20
A= 5
∫▒100dQ/((20+Q)(Q)) = ∫▒5/Q dQ -∫▒5/((20+Q)) dQ
∫▒100dQ/((20+Q)(Q)) = 5InQ – 5In (20+Q)
∫▒100dQ/((20+Q)(Q)) = 5 ( InQ – In(20+Q) )
∫▒100dQ/((20+Q)(Q)) = 5InQ/(20+Q)

∫▒〖kdt 〗= kt + c
5InQ/(20+Q)= kt + c
In ( Q/(20+Q)) = (kt+c)/5
Q/(20+Q) = ℮kt+c/5Q/(20+Q) = ℮kt/5 ℮c/5
Q/(20+Q)= C℮kt/5 Solución de la ecuacion
Reemplazando la primera condicion inicial dadas para t=0 Q=30
30/(20+30) = C℮k(0) /5
30/50= C
C= 3/5
Reemplazo C
Q/(20+Q)= 3/5℮kt/5
Reemplazo la segunda condición inicial dadas para t=2 Q=20
Para t=2 Q=20
20/(20+20) =3/5 ℮2/5 k
20/40 =3/5 ℮2/5 k
1/2 =3/5 ℮2/5 k
℮2/5 k= 5/6
2/5 k= In 5/6
k/5= 1/2 In5/6
Reemplazo kQ/(20+Q)= 3/5 ℮t(1/2 In5/6 )
Q/(20+Q)= 3/5 ℮t/2 In 5/6
Q/(20+Q)= 3/5 ℮In t/2 5/6
Q/(20+Q)= 3/5 ( 5/6 )t/2 Solución general

Reemplazando la tercera condición para
t=6
Q=?
Q/(20+Q)= 3/5 ( 5/6 )6/2
Q/(20+Q)= 3/5 ( 5/6 )3
Q/(20+Q)= 3/5 (125/216)
Q/(20+Q)= 0.347
Q= 0.347 (20+Q)
Q= 6.944 + 0.347Q
Q – 0.347Q= 6.944
0.653Q= 6.944
Q= 6.944/0.653 = 10.63 No disuelta
Disuelta30-Q
30-10.63 = 19.37
Al cabo de 6 horas se habrán disuelto 19.37g






Un reactor generativo transforma el uranio 238 que es relativamente estable, en el isotopo plutonio 239. Después de 20 años se determina 0.055% se ha desintegrado, determine la semivida si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.
Sea A(t) la cantidad de plutonio que quedaen un instante t, la solución del problema inicial es
dA/dt=k.A
A(0) = A0

dA/dt=k.A
Separando variables
dA/A=k.dt
∫▒〖dA/A= ∫▒〖k.dt 〗〗
InA = kt + C
A= ℮kt + c
A= ℮kt ℮c
A= C℮kt
A(t) = C℮kt Ecuación 1
Reemplazo A(0) = A0
A0= C℮k(0)
A0= C
A(t)= A0℮kt Ecuacion 2
Si 0.055% de los atomos en A0 se han desintegrado queda 99,945% de la sustancia.
Para hallar K se debe resolver A(t) =0.99945 A0
Reemplazo en la ecuación 2
0.99945 A0 = A0 ℮kt
℮kt = 0.99945
Como t=20 años entonces
℮20k = 0.99945
20k= In0.99945
K= In0.99945/20
K= -0.0000275
Reemplazando k en la ecuación 2
A(t)= A0℮-0.0000275t
La ecuación hallada me representa la semivida de la sustancia dada, una cantidad inicial A0 y la semivida es el valor t para el cual A(t)= A0/2
A0/2 = A0℮-0.0000275t
1/2=-0.0000275t
t=(In 1/2)/(-0.0000275t)
t= 25.205 años
la sustancia tiene una vida media de 25.205 años








En una calurosa mañana mientras las personas están trabajando el aire acondicionado mantiene la temperatura de la tienda a 20°C, al medio dia se apaga el aparato del aire acondicionado y la gente se va a sus casas. La temperatura exterior permanece constante a 35°C, si la constante...
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