Modelo

MODELO DEPREDADOR-PRESA

Consideramos ahora un hábitat en donde coexisten dos especies que interaccionan entre ellas. Por una parte, tenemos la especie P (la presa: conejos) y que en ausencia dedepredadores, es capaz de crecer de forma ilimitada a una tasa de crecimiento a > 0 (los conejos se alimentan de hierba y en un ambiente sin depredadores y con recursos ilimitados, crecerá). Por otraparte, tenemos la otra especie D (depredador: zorros) que en ausencia de presa y, por tanto, de comida, decrece con una tasa negativa – b. Es decir,
P´(t) = a.P(t); si D = 0
D´(t) = - b.D(t); si P = 0Pero, obviamente, los zorros se comen a los conejos y, por tanto, la población de conejos se verá mermada en presencia de zorros y viceversa, la población de zorros se verá aumentada en presencia deconejos. Esta ley explica la interacción existente entre ambas especies y nos da pistas para encontrar los términos adecuados que modelicen esta situación. En términos de las tasas de crecimientos ymortalidad parece natural asumir que la tasa de mortalidad de la presa P debe ser proporcional al número de depredadores presentes, es decir, – cD, de forma que la tasa de crecimiento de P será a –cD. De forma similar, la tasa de nacimientos del depredador D será proporcional al número de presas, e.P, de forma que la tasa de crecimiento de ¶este es de la forma – b + e.P . Las ecuaciones quedan,por tanto,

(3.7)

con a; b; c; e constantes positivas y caracter¶³sticas de las especies en cuestión.
Estas son las ecuaciones de Lotka-Volterra, que fueron propuestas por Volterra en el año1926 para explicar las oscilaciones encontradas en el volumen de pesca de ciertas especies de peces en el mar adriático. También Lotka había estudiado estas ecuaciones para explicar las oscilacionesobservadas en cierta reacción química.
Buscamos, por tanto, funciones (P(t);D(t)) que sean solución del sistema de ecuaciones (3.7). Obviamente, esta solución dependerá de la cantidad inicial presente...