Modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones

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MODELOS MATEMATICOS DE CRECIMIENTO DE POBLACIONES
Luis E. Castro-Solis

Resumen

En el presente ensayo se ejemplifica el proceso de creación de modelos matemáticos de poblaciones bajo lashipótesis de crecimiento lineal, exponencial y logístico. Se ilustra el procedimiento de solución por el método de transformada de Laplace y la expansión por fracciones parciales.

Modelo: CRECIMIENTOLINEAL

“La velocidad de crecimiento es constante”

dP/dt = K

Condición inicial: P(0) = Po

Solución

Separando variables
dP = K dt

Integrando
P = K t + C

Sustituyendo condicióninicial
Po = K(0) + C ( C = Po

Sustituyendo en la solución general:
P = K t + Po

Ejemplo.-
Po = 2
K = 0.5/[t]

[pic]



Modelo: CRECIMIENTO EXPONENCIAL

“La velocidad de crecimiento esproporcional a la población presente”

dP/dt = kP

Condición inicial: P(0) = Po


Solución

dP/dt – kP = 0


Transformando:

L(dP/dt)-L(kP) = L(0)

s F(S) – P(0) – k F(S) = 0

F(S) ( s– k) = Po

F(S) = Po / (s-k)

Antitransformando:

P(t) = Po exp(kt)


Ejemplo.-

Po = 10
k = 0.2/[t]

[pic]





Modelo: CRECIMIENTO LOGISTICO

“La velocidad de crecimiento esproporcional a la población presente y a la diferencia entre la población presente y la población de saturación”

dP/dt = KP(Psat-P)

Condición inicial: P(0) = Po

Solución

dP/dt – kP(Psat -P)= 0

Separando variables:

dP/P(Psat-P) = kdt

Aplicando expansión por fracciones parciales en el lado izquierdo

1/P(Psat-P) = A/P + B/(Psat-P) = [ A(Psat-P) + BP ] / P(Psat-P)

1 =(-A+B)P + APsat

APsat = 1 ( A = 1/Psat
-A+B = 0 ( B = 1/Psat

La ecuación diferencial separada queda:

(1/Psat) [ 1/P – 1/(P-Psat) ] dP = k dt

Integrando término a término (solución general)(1/Psat) ln |P/P-Psat| = kt + C

Sustituyendo la condición inicial (t = 0, P = Po)

(1/Psat) ln |Po/Po-Psat| = k(0) + C ( C = (1/Psat) ln |Po/Po-Psat|

Sustiuyendo C en la solución general:...
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