Modelos matematicos

MODELOS MATEMATICOS

. Ejemplo 1: enfriamientos
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300 oF. Tres minutos después su temperatura es de 200oF. Estamos interesados en saber latemperatura del pastel en cualquier momento,siendo la temperatura ambiente de 70oF.
1. Variables. La temperatura T es función del tiempo t.
2. Ley de Newton del enfriamiento: la rapidez con que latemperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio quelo rodea.
3. La ecuación: dT/ dt= k(T - 70).
4. Condiciones adicionales : T(0) =300; T(3) = 200

EJERCICIO 2 Leyes empíricas que se pueden aplicar:
En los datos: “La esfera se derrite a razón proporcional al área de su superfcie”, esdecir, “el volumen de la esfera varía arazón proporcional al área de su superfcie.”
La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:dV/ dt
Expresión de la ley en forma matemática: dV/ dt= k 4πr2
,r es el radio de laesfera, r = r(t).
Planteamiento de la ecuación:
Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V :
V =4 / 3πr3 ---------- (3V/4π)1/3= r:
Sustituyendo: dV/ dt= k4π (3V/ 4π)1/3 32/3V2/3Ecuación diferencial que proporciona el volumen en cualquier tiempo t.

Ejercicio 3.

Modelo de Malthus
En el contexto antes referido, se llaman Modelos de Malthus o Modelos malthusianos a todosaquellos en los que se considera que los nacimientos y las muertes son proporcionales a la propia población, es decir:
tasa de nacimientos= aN, tasa de muertes= bN,
con a y b constantes evidentementepositivas, mientras que no existen migraciones. La
ecuación será por tanto:
dN dt= aN - bN = kN
donde k = a ¡ b será positiva si la tasa de natalidad es mayor que la tasa de mortalidad,
negativa encaso contrario y nula si se produce la situación ideal en la que ambas coinciden
(las unidades en las que viene dada k son evidentemente de T¡1, inverso de tiempo).
La solución de la ecuación...