Modelos Probabilísticos

Modelos Probabilísticos.
Distribución de probabilidad

Modelo de Bernoulli.
Distribución de Bernoulli. La distribución de Bernoulli de parámetro p es el modelo más simple de probabilidad. Se aplica a situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad p (éxito) y la ausencia de este mismo atributo con probabilidad q=1-p (fracaso), como en el lanzamiento de una moneda. Que puededar como resultado cara o cruz. Recíprocamente, todo experimento aleatorio que sólo admite dos resultados posibles, (uno llamado por costumbre éxito y el otro fracaso) se llama ensayo de Bernoulli y lleva obviamente a la distribución de Bernoulli. Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selecciónmúltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta. Su fórmula es:
Función de probabilidad. Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la variable aleatoria X=(Número de caras obtenidas), en cuyo caso X=0 si q=1/2, y X=1 sip=1/2
Función de Distribución
Función de densidad. En unexperimento de Bernoulli se denomina éxito al suceso en estudio, P, y fracaso a su contrario, q. A este suceso le asociamos la variable aleatoria, X, definida como el número de éxitos al realizar el experimento. Es decir, 0 si P(X 0) q 1 pX B(p) 1 si P(X 1) p
Ejemplo de la utilización de la distribución Bernoulli. Experimento Lanzar un dado y que salga 5 X = # de veces que sale un 5.Al lanzar un dadotenemos 6 posibilidades resultados el espacio muestral es deS=(1,2,3,4,5,6)Se considera éxito sacar un 5 entonces la probabilidad es de P=1/6Se considera fracaso a no sacar un 5 entonces q= 1-P = 1-(1/6) = 5/6La probabilidad de que salga un 5 viene definida en que x =1 (éxito)P(x=1) = (1/6)1 * (5/6)1-1 = 1/6 = 0.16Y x=0 (fracaso)P(x=0) = (1/6)0 * (5/6)1-0 = 5/6 = 0.83
Distribución Binominal Cuando sedispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria. La distribución de probabilidad binomial, es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuestapor n observaciones. Propiedades -La muestra se compone de un número fijo de observaciones n -Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entoncesocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso. -La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones. - La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n
Se define por la formula: Cuando n esmayor. Cuando n es menor.
Función de distribución: n es el número de pruebas. x n k n k k es el número de éxitos. F ( x) p q p es la probabilidad de éxito. k 0 k q es la probabilidad de fracaso
P=0.3 Éxito q=0.7 Fracaso x n F ( x) pk qn k k 0 k
Esta expresión es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el número de modos posibles de obtener k éxitos en n observaciones. Los coeficientesbinomiales forman las filas del triángulo de Pascal y se puede calcular usando factoriales: n! P(X x) Pk Qn k P Q 1 k! (n k)!Ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? k es el número de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k=6), n es el número de ensayos. En nuestro ejemplo...