Momentos de inercia

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Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela Básica.

Profesora: Nayive Jaramillo S. Sección 01 de MR10

Tema III: Momento de Inercia
• Segundo momento o momento de inercia de un área. • Determinación del momento de inercia de una área. • Momento de inercia de áreas típicas. o Momento de inercia de un área rectangular. o Momento de inercia de una parábola. o Momento de inercia deun Triangulo. o Momento de inercia de un Círculo. o Momento de inercia del Semicírculo. o Momento de inercia del cuarto de círculo. • Momento Polar de inercia del área. • Radio de Giro de un área. • Teorema de los ejes paralelos o Teorema de STEINER. • Producto de inercia. • Momento de inercia respecto a los ejes centroidales de áreas más usadas: o Rectángulo. o Triangulo. o Círculo. o Parábola. •Momento de inercia de áreas compuestas. • Ejes principales y momentos principales de inercia.

Mecánica Racional 10 Semestre A-2004

Tema III Momento de Inercia

2do parcial.

Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela Básica.

Profesora: Nayive Jaramillo S. Sección 01 de MR10

TEMA III MOMENTO DE INERCIA: En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral dela forma

donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano. Ejemplo: 1. Una viga de sección transversal uniforme estásometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga.

∫ y dA
2

,

Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, ∆F=Ky∆A, varían linealmente con la distancia “y” que hayentre el elemento de área ∆A y un eje que pasa a través el centroide de la sección. Nota : El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó Eje centroidal. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultante de las fuerzas ∆F = Ky∆A sobre el eje neutroes cero. y En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas ∆F, que actuan en un diferencial de área ∆A, es R

R = ∫ Ky e dA = K ∫ y e dA = KY A

∫ y dA = YA es el primer momento del área
e

En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ∆F se reduce a un par, cuya magnitud M es laMecánica Racional 10 Semestre A-2004 Tema III Momento de Inercia 2do parcial.

Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela Básica.

Profesora: Nayive Jaramillo S. Sección 01 de MR10

suma de los momentos dM=y*∆F=y *∆F de las fuerzas elementales. M = dM = Ky 2 dA = k y 2 dA

2







La integral

inercia de la sección de la viga con respecto al eje horizontal(x). El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto del área dA por el cuadrado de la distancia “y”existente entre el eje (x) y el diferencial de área. Como cada producto y2dA es positivo la integral y 2 dA será positiva, independientemente del valor y signo de la distancia “y”. 2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elementodiferencial de área una presión proporcional a la b a profundidad del elemento P=γy. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dA es dM = dF*y =PdAy y =(γydA)y = γy2dA = γ(y2dA). El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos los momentos diferenciales dM.

∫y

2

dA define el segundo momento del área o momento de



P=γy c

M total...
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