Momentos de inercia



MOMENTOS DE INERCIA
Las cantidades llamadas momentos de inercia aparecen con frecuencia en los análisis de problemas de ingeniería. Por ejemplo, los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de las fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inerciadel área de la placa. En dinámica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos rotatorios de objetos.
Los momentos de inercia de un área son integrales de forma similar a las usadas para determinar el centroide de un área. El momento de inercia es una medida de la distribución del área respecto a un eje dado.
Por definición, los momentos de inercia de un áreadiferencial dA con respecto a los ejes X y Y son dIₓ = y² dA y dIᵧ = x² dA, respectivamente.

Los momentos de inercia se determinan por integración para toda el área; es decir,

También podemos formular esta cantidad para dA con respecto al “polo” O o eje Z. A éste se le llama momento de inercia polar. Se define como dJₒ = r² dA, donde r es la distancia perpendicular desde el polo (eje Z) hasta elelemento dA. Para toda el área, el momento de inercia polar es

Esta relación entre Jₒ e Iₓ, Iᵧ es posible puesto que r² = x² + y². A partir de las formulaciones anteriores se ve que Iₓ, Iᵧ y Jₒ siempre serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además, las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo, m⁴,mm⁴ o pie⁴, pulg⁴.

MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS
SEGUNDO MOMENTO, O MOMENTO DE INERCIA, DE UN ÁREA
Considérese una viga de sección transversal uniforme, la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en estas condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que las fuerzasinternas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes ∆F = ky ∆A varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área ∆A y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje, representado por el eje x en la figura, se conoce como el eje neutro de la sección.

Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que lasfuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales ∆F que actúan sobre toda la sección es

La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qₓ de la sección con respecto al eje x; ésta es igual a ῩA y, por tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección estáubicado sobre el eje x. Por consiguiente, el sistema de fuerzas ∆F se reduce a un par. La magnitud M de dicho par (momento flector) debe ser igual a la suma de los momentos ∆Mₓ = y ∆F = ky² ∆A de las fuerzas elementales. Al integrar sobre toda la sección se obtiene

La última integral se conoce como el segundo momento, o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto al eje x y serepresenta con Iₓ. Éste se obtiene con la multiplicación de cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y² dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero (si y es cero), la integral Iₓ siempre será positiva.










PROBLEMA RESUELTO 1
Determine el momento de inercia de un triángulo conrespecto a su base.
Formula
dIₓ dA
Si se utilizan triángulos semejantes se tiene que:

Con la integración de dlₓ, desde y = 0 hasta y = h, se obtiene:



;


PROBLEMA RESUELTO 2
a) Determine el momento de inercia con respecto a cada uno de los ejes coordenados correspondientes al área sombreada que se muestra en la figura, b) utilize los resultados del...