Moriton 1991

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Sucesiones

Definición: Una función [pic], se llama sucesión.
En símbolos: [pic], con [pic] y [pic].
Ejemplos:
1) [pic]
2) [pic], [pic]
3) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213;…….Ejercicio: Escriba los 10 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones:
a)[pic], b)[pic], c)[pic],d)[pic], e)[pic], f)[pic], g)[pic], h) [pic] [pic], [pic]; i) [pic][pic]; j) 4; 3,2;3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160;

Sucesiones monótonas:

Definición: [pic] es monótona creciente en sentido amplio ( [pic].
[pic] es monótona creciente en sentido estricto ( [pic].
[pic] esmonótona decreciente en sentido amplio ( [pic].
[pic]es monótona decreciente en sentido estricto ( [pic].

Limite de una sucesión.

Definición: [pic] o [pic]( ( ( > 0, ( n0 ( N*/ ( n ≥ n0 ( [pic]Definición: [pic] o [pic]( ( K > 0, ( n0 ( N*/ ( n ≥ n0 ( [pic]
Definición: [pic] o [pic]( ( K > 0, ( n0 ( N*/ ( n ≥ n0 ( [pic]
Definición: [pic] o [pic] ( ( K > 0, ( n0 ( N*/ ( n ≥ n0 ( [pic] o[pic].
Definición: Si [pic], se dice [pic]convergente.
Definición: Si [pic], se dice [pic]divergente.
Definición: Si[pic]no es convergente ni divergente se dice oscilante.

Teorema de unicidad.Teorema: Si ( lím a n = l ( l es único.
Demostración:
Supongamos que [pic]tiene dos límites, l y l’, l < l’.
[pic]
Elijo ( > 0 / l + ( < l’- ( ( ( + ( < l’- l ( 2( < l’- l ( [pic].
Luego pordefinición:
{a n}( l ( dado ( > 0, ( n1 ( N* / ( n ≥ n1 ( [pic]( l - ( < a n < l + (.
{a n}( l’ ( dado ( > 0, ( n2 ( N* / ( n ≥ n2 ( [pic]( l’- ( < a n < l’+ (.
Tomemos n ≥ máx{ n1, n2}( a n < l + (
Sucesiones acotadas:
Definición: [pic]es acotada ( [pic]
Teorema: Si [pic]es convergente([pic]es acotada.
Demostración:
Teorema: Si [pic]es divergente([pic]no esacotada.
Demostración:
Teorema: Si [pic]es monótona creciente y acotada ([pic]es convergente.
Demostración:

Número e.
Teorema: [pic] es monótona creciente y acotada ([pic] es convergente....
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