Movimiento armonico simple, amortiguado y forzado

ufeffIntroducción
El siguiente trabajo se divide en dos partes, en la primera se verán distintos ejercicios sobre movimiento armónico simple y movimiento armónico amortiguado y forzado, con sus respectivos desarrollos y demostraciones.
La segunda parte de este trabajo consiste en profundizar un tema. El tema que hemos escogido para estudiar son las ondas senoidales, en donde se puede ver unmayor análisis en el cual se incluye comportamiento, características y principales ecuaciones de las ondas. Finalmente desarrollamos un ejercicio que tiene que ver con este tema en donde se pueden ver aplicadas todas las propiedades anteriores.
Movimiento Armónico Simple
Movimiento armónico simple
Una partícula describe un movimiento armónico simple cuando se mueve a lo largo del eje x, estando suposición inicial dada en función del tiempo t por la ecuación:

Donde:
A= Amplitud
= Frecuencia angular
t+φ= La fase
φ= La fase inicial

También podemos hallar la velocidad y la aceleración. Esta viene dada por la derivada con respecto al tiempo de la ecuación:

Obteniendo la velocidad:

Derivamos nuevamente y obtenemos la aceleración:









Pregunta 1
Un caso dondese puede apreciar el M.A.S. es en el movimiento del pistón del motor de un automóvil, el cual es aproximadamente movimiento armónico simple.
Si la carrera del pistón es de 0.1 [m] y el motor trabaja a 3500[rpm]

1) [3500[rpm] x 1[min]/60 [seg]]x2π = 366,51[rad/seg]
2A=0.1[m] => A=0.05[m]

2) ¿Que aceleración tiene el pistón en el extremo de su carrera?




La Aceleración máxima delsistema la obtenemos de la ecuación:

De esta manera:


3) ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza el pistón?

Para hallar la rapidez se usa la primera derivada de la ecuación de posición:



La velocidad es máxima cuando pasa por el origen, luego





Pregunta 2
Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijado. Conectando una balanza de resorte al extremolibre y tirando de forma que el resorte se estire. La fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 n causa un estiramiento de 0.03m. Quitamos la balanza y conectamos un cuerpo de 0.5kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0.2m, lo soltamos y vemos como oscila.
a) Determinar la constante de fuerza del resorte
b) Calcular, la frecuencia angular, frecuencia yperiodo del resorte
Desarrollo:
Podemos ver que la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento, por lo tanto el movimiento es armónico simple.
a) Podemos usar la ecuación de fuerza de restitución de un resorte ideal:

Tenemos que cuando x=0.03[m] la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo es


b) Para esta parte podemos usar la siguiente ecuación:

Tenemos que m=0.5[kg] yAhora podemos obtener la frecuencia f:


Además, el periodo es el reciproco de la frecuencia, por lo tanto tenemos:

Además el periodo se puede expresar solamente en segundos




Pregunta 3:
Una viga uniforme de 275kg se suspende horizontalmente de dos resortes verticales idénticos que sujetan cada extremo de la viga con el techo. Un saco de 125kg de grava se coloca sobre el puntomedio de la viga. La viga esta oscilando en MAS con amplitud de 40cm y frecuencia de 0.600[ciclos/s]
a) El saco de grava se cae de la viga cuando esta tiene su desplazamiento máximo hacia arriba. Calcule la frecuencia y amplitud del M.A.S. subsecuente de la viga.
b) Suponga ahora que el saco de grava se cae cuando la viga tiene su rapidez máxima. Calcule la frecuencia y amplitud del M.A.S.subsecuente de la viga.

Desarrollo:
Datos:
f=0.600Hz

Necesitamos la constante de elasticidad k de los resortes (que son idénticos), para ello tenemos:




Entonces:




a) Después de que el saco de grava cae, la masa restante que sostienen los resortes es solo la viga, es decir 275kg. La constante de elasticidad no varía ya que no depende de la masa que sostienen los resortes....