Movimiento armonico

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Indice MOVIMIENTO ARMÓNICO
Semana 9 - 10 • • • • • • •
1

Cinemática del MAS Relación con el MCU Dinámica del MAS: masa-resorte, péndulo Ec. Diferencial: características y CI Energía en el MASAplicaciones: péndulo físico MAA: tipos
3

Mapa Conceptual

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Armónico Simple

Ejemplos
µ = 0

sol
α
2

α
4

Periodico

Oscilatorio

MovimientoArmónico Simple (MAS)
• Dinámica del MAS

Cinemática del MAS

DCL

mg F

∑F

x

= ma ⇒ − kx = mx

N1

2 x = −ω0 x

con

ω0 =

k m
5 7

Cinemática del MAS
Uso de complejos paraencontrar la solución. Sea:
x = A ′ e zt
Derivando : A’ , z y x son complejos

Cinemática del MAS
Es de periodo T
x (t ) = x (t + T ) → A cos(ω 0 t + Φ ) = A cos(ω 0 (t + T ) + Φ ) → ω 0T = 2π⇒ ω 0 = 2π T

x = A ′ ze zt → x = z 2 A ′ e zt

T = 2π

m k

Reemplazando en (1) :

z 2 A ′ e zt + ω 0 2 A ′ e zt = 0 z 2 + w 0 2 = 0 → z = ± iω 0

Frecuencia Angular (ω) Frecuencia (ν)Velocidad y Aceleración:

ω0 = 2πν
ν =
1 T

( rad / s )
2

( Hz )

x = A ′ e iω o t + B ′e − iω 0 t
x( t ) = Acos ( ω0 t + Φ )
Tarea: Halle A’ y B’ para obtener la última expresión Tarea
6v(t ) = x(t ) = −ω0 Asen(ω0t + Φ) a(t ) = x(t ) = −ω02 A cos(ω0t + Φ) = −ω02 x(t )
8

Energía
La fuerza elástica es conservativa, E=cte.
E = EK + U = cte
E K (t ) = 1 1 m v 2 ( t ) = k A 2 se n 2 (ω 0 t + Φ ) 2 2

Aplicaciones

U (t ) =

1 1 k x 2 (t ) = k A 2 c o s 2 (ω 0 t + Φ ) 2 2

E (t ) =

1 1 kA 2 = m ω 0 2 A 2 2 2
MAS vertical: Nótese que el alargamiento verticalinicial compensa los efectos del peso.
9

MAS: Como aproximación en MAS el punto de equilibrio molecular
11

Energía
E = EK + U = cte

Aplicaciones
Péndulo Simple

∑F

tan gencial

= mat−mg sen φ = mat = mLφ
Si φ ≤ 15° error ≤ 1, 2% cuando senφ ≈ φ

Lφ + g φ = 0 → φ +
E= 1 2 1 1 kA = m v 2 + kx 2 → 2 2 2
1 2

g φ = 0→ l
L g

ω 02 =

⎡k ⎤ v = ⎢ ( A 2 -x 2 ) ⎥ ⎣m ⎦...
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